Basis Polynomfunktion

Neue Frage »

mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Polynomfunktion
hallo, hab hier eine Aufgabe, die etwas unklar ist:

Im Vektorraum P_3 (R,R) sei U die Teilmenge aller Polynome f mit der Eigenschaft: f(-x)=f(x) für alle x aus R , ferner gilt für W=(P_3(R,R)) mit der Eigenschaft f(1)=f(2)
Bestimmen sie eine Basis des Teilraumes U Schnittmenge W.
Hab jetzt erstmal für U folgendes aufgestellt:
a x^3 +b x^2 +cx+d=-a x^3 +b x^2 -cx+d
daraus folgt: 2ax^3 +2cx=0
also folgt ax^2 +c=0
wenn ich für x=1 und x=2 betrachte hab ich die gleichungen:
a+c=0 und 4a+c=0 durch subtraktion erhalte ich: -3a=0 und somit a=0 weitere bedingungen sind dann: b=b, c=0, d=d

für W hab ich die Gleichung: a+b+c+d=8a+4b+2c+d=0
also: 0=7a+3b+c
es folgt: b=0 durch einsetzen folgt: c=-3b, weitere bedingungen sind: d=d, b=b, c=c
kann mir jemand sagen, wie dann meine Basis vom schnittraum aussieht?? ist es dann: (1,-3x,x^2 ,x^3) ??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomfunktion




Welche der Basispolynome sind denn gerade Funktionen?
mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab echt keine ahnung
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist bisher noch Schulmathe Augenzwinkern Ein Plot sollte Klarheit schaffen

mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »

naja alle mit nem geraden exponenten, war mir schon klar
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathestudentin
ich hab echt keine ahnung


Dann hättest Du es auch statt obigem sagen können.



Ist das ein Untervektorraum von V? Wie sieht es mit W aus?

 
 
mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir nicht erstmal was zu meiner rechnung sagen? ist die denn komplett falsch, oder warum fangen wir jetzt ganz von vorn an??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
kann mir jemand sagen, wie dann meine Basis vom schnittraum aussieht?? ist es dann: (1,-3x,x^2 ,x^3) ??


Das würde bedeuten, dass der Schnittraum die Dimension 4 hat, also komplett V ist. Das ist wohl offensichtlich falsch, da in U nur gerade Funktionen enthalten sind, also x³ z.B. nicht.

Außerdem bin ich mir bei deinem Ansatz nicht sicher, wie fit Du mit den Begriffen Vektorraum und Basis bist, da es mir mehr nach einer Rechnung in der Form der Schulmathe "Funktion bestimmen" aussieht . Da mag ich Dir Unrecht tun, deswegen meine Fragen.
mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »

im grunde weiß ich alles über vektorräume und basen, was man wissen sollte, da ich bald klausur schreibe. nur das thema polynomfunktionen hatten wir ziemlich ausgespart und auch nie eine basis bestimmt. befürchte jetzt aber, dass es vielleicht in der klausur drankommt..hab also was das angeht nicht wirklich ahnung. kannst du mir nicht erstmal allgemein sagen, was man tun muss, um zu dieser basis zu gelangen, bevor du mich durch fragen dazu hinbewegen willst? ich verlier sonst den überblick. ich dahte mir, dass ich nach bedingungn für die koeffizienten von x suche und diese dann zusammenfasse.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Kennst Du denn die von mir hingeschriebene Basis (Monom-Basis)? Mit Ihr läßt sich jedes Polynom als Linearkombination der Basisvektoren wie folgt schreiben:



Das hast Du zwar schon Du ähnlich geschrieben, aber ich glaube die Bedeutung nicht verstanden.

Um nun die Basis eines Schnitts bestimmen zu können, musst Du erstmal die Basen der Teilräume bestimmen. Deswegen:





Dann muss/sollte man prüfen, da nur Eigenschaften der Funktionen gegeben waren, dass diese wirklich Unterräume sind (Und nicht nur Teilmengen)

Danach geht der Ansatz wie Immer. Finde Vektoren die in beiden Unterräumen liegen. Dazu stellt man als LK der Basis dar und schaut, welche dann auch in W liegen.
mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »

normalerweise, wenn man vektoren hat, dann kann man jeden vektor aus V mit hilfe einer eindeutigen linearkombination von den vektoren aus der basis darstellen. wie ist das bei polynomfunktionen? kann man dann hier jedes polynom aus dem raum eindeutig darstellen mithilfe der linearkombination?
Bei U sieht man ja dann direkt, was die Basis ist. Aber wie wäre man rechnerisch darauf gekommen? ist es so, weil man bx^2 und d wegkürzen kann bei:
ax^3+bx^2+cx+d=-ax^3+bx^2-cx+d ??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
normalerweise, wenn man vektoren hat, dann kann man jeden vektor aus V mit hilfe einer eindeutigen linearkombination von den vektoren aus der basis darstellen. wie ist das bei polynomfunktionen?


Ja genauso. Deswegen habe ich Dir doch die Basis angegeben. geschockt



Kannst du von mir aus auch so schreiben:



mit:


Und die LK sieht so aus:




Zitat:
Bei U sieht man ja dann direkt, was die Basis ist. Aber wie wäre man rechnerisch darauf gekommen?


Sei Dann folgt:





Da ein Vektor bzgl. einer eindeutig duch seine Koeffizienten bestimmt ist, muss gelten:



Da die Koeffizienten aus stammen, folgt daraus:



Und damit:

mathestudentin Auf diesen Beitrag antworten »

aha okay, bisher ist alles klar! aber was mache ich denn bei W. Da habe ich ja dann:
ax^3+bx^2+cx+d=8a+4b+2c+d richtig?
hier sind doch jetzt die summanden nicht jeweils gleich oder gilt etwa:
ax^3=8a ,...??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





Es gilt:





D.h. muss gelten, da die c's eindeutig sind:



Umstellen:



D.h. sind frei wählbar, steht dann fest.

Versuche doch mal ein paar Funktionen zu finden, die un W liegen. Sind diese Linear unabhängig?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »