Dgl mit AWP - wo ist der Fehler?

12.07.2007, 18:46

verkehrt

Dgl mit AWP - wo ist der Fehler?

Ich habe ein AWP gegeben:

$\begin{eqnarray*} y' = \begin{pmatrix} y_2\cdot y_3 \\ -y_1 \cdot y_3 \\ 6x \end{pmatrix}, \quad y(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann löst man direkt $\begin{eqnarray*} y_3 = \int 6x dx = 3x^2 + c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ wegen dem AWP.

Es bleibt zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3x^2 \\ -3x^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für Dgl'n der Form $\begin{eqnarray*} y' = \begin{pmatrix}a(x) & b(x) \\ -b(x) & a(x) \end{pmatrix} y \end{eqnarray*}$ haben wir für stetige a,b in einer vorigen Aufgabe hergeleitet, daß ein Fundamentalsystem der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\cos (\int b(x) dx) & \sin(\int b(x) dx) \\ -\sin (\int b(x) dx) & \cos (\int b(x) dx) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

existiert. Kann man ja leicht nachrechnen, daß das auch richtig ist.

Warum erhalte ich jetzt ein falsches Ergebnis für das obige AWP, wenn ich bei der Integration $\begin{eqnarray*} \int b(x) dx \end{eqnarray*}$ die Integrationskonstante berücksichtige und mit dem AWP bestimme. Ich erhalte also für obiges AWP:

$\begin{eqnarray*} Y = \begin{pmatrix} \cos (x^3 + \frac{\pi}{2}) \\ -\sin (x^3 - \frac{\pi}{2}) \\ 3x^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Integrationskonstante einfach weglasse (also =0 setze) stimmt das Ergebnis. Was soll man denn dann mit den Anfangswerten anfangen, wenn überhaupt keine Konstanten zu bestimmen wären...

12.07.2007, 19:42

Abakus

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RE: Dgl mit AWP - wo ist der Fehler?

Zitat:

Original von verkehrt
Warum erhalte ich jetzt ein falsches Ergebnis für das obige AWP, wenn ich bei der Integration $\begin{eqnarray*} \int b(x) dx \end{eqnarray*}$ die Integrationskonstante berücksichtige und mit dem AWP bestimme. Ich erhalte also für obiges AWP:

$\begin{eqnarray*} Y = \begin{pmatrix} \cos (x^3 + \frac{\pi}{2}) \\ -\sin (x^3 - \frac{\pi}{2}) \\ 3x^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Integrationskonstante einfach weglasse (also =0 setze) stimmt das Ergebnis. Was soll man denn dann mit den Anfangswerten anfangen, wenn überhaupt keine Konstanten zu bestimmen wären...

Da sehe ich das Problem noch nicht. Wo erhälst du welches falsche Ergebnis und welches Ergebnis ist richtig ?

Grüße Abakus smile

12.07.2007, 20:14

verkehrt

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Also das letzte Y=... ist mein (falsches) Ergebnis. Wenn man dieses in das AWP einsetzt erhält man etwa für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y_1' = -\sin(x^3 + \frac{\pi}{2}) \cdot 3x^2 \neq - \sin(x^3 - \frac{\pi}{2})\cdot 3x^2 = y_2 \cdot y_3 \end{eqnarray*}$

Um auf die Lösung zu kommen habe ich in das obige Fundamentalsystem der vorigen Aufgabe eingesetzt. Etwa wieder für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y_1 = \cos (\int 3x^2 dx) = \cos (x^3 + c) \end{eqnarray*}$

Und dann mit dem AWP die Konstante c bestimmt:

$\begin{eqnarray*} y_1(0) = \cos (c) \overset{!}{=} 0 \Rightarrow c = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Analog habe ich es mit $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ gemacht. Und nun ist mir nicht klar, was an meinem Vorgehen falsch ist - denn das Ergebnis stimmt ja offensichtlich nicht.

12.07.2007, 21:01

Orakel

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ich denke du denkst zu kompliziert. du hast ja schon ein fundamentalsystem für dein 2x2 DGL-System, d.h. die allgemeine lösung der homogenen gleichung ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} y(x)=Y(x)c \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} y(x)=(y_1(x),y_2(x))^T \end{eqnarray*}$ , Y(x) die Fundamentalmatrix und $\begin{eqnarray*} c=(c_1,c_2)^T \end{eqnarray*}$ . nun kann man mit hilfe des anfangswertes c berechnen zu

$\begin{eqnarray*} c_1=0\quad\text{und}\quad c_2=1 \end{eqnarray*}$ .

damit gilt $\begin{eqnarray*} y_1(x)=\sin x^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(x)=\cos x^3 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: denke daran, dass du für eine fundamentalmatrix nur spezielle lösungen brauchst, so dass die spalten der matrix linear unabhängig sind. es ist also unnötig, beim integrieren von b(x) eine zusätzliche konstante mitzuschleppen!

12.07.2007, 21:23

Orakel

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ich hab noch vergessen Y(x) anzugeben:

$\begin{eqnarray*} Y(x)=\begin{bmatrix}\cos x^3 & \sin x^3\\-\sin x^3 & \cos x^3\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

13.07.2007, 21:27

verkehrt

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Ah ja, stimmt. Ich wollte die Konstanten an der falschen Stelle bestimmen. Das "richtige" c_1,c_2 habe ich ganz vergessen.

Ok, dankeschön!

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