Aus 3 Punkten Koordinatengleichung aufstellen

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Slartibartfass Auf diesen Beitrag antworten »
Aus 3 Punkten Koordinatengleichung aufstellen
Hallo Community,

ich wende mich mit einem Problem an euch:

Ich weiß nicht, wie man aus den Punkten A(0|2|-1), B(6|-5|0), C(1|0|1) eine Koordinategleichung aufstellt... Gibt es da einen direkten Weg oder muss ich erstmal eine Parametergleichung aufstellen, die ich in die Normalgleichung und schließlich in die Koordinatengleichung umwandle?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen... verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus 3 Punkten Koordinatengleichung aufstellen
unter der (glücklichen) voraussetzung, dass die ebene NICHT durch O(0/0/0) geht, also

kannst du das lgs

lösen
 
 
Slartibartfass Auf diesen Beitrag antworten »

Sind a, b, c nicht Komponente der Normalen? Die habe ich in dem Fall ja nicht.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die hättest, hättest ja die ebene geschockt

die kannst und sollst du durch einsetzen der 3 punkte bestimmen.

ob das aber schneller geht verwirrt
und wenn dann noch dazu d= 0 sein sollte verwirrt

hier geht es


oder irgendsowasähnlicheszeugs unglücklich

sinnvoller ist wohl dieser weg:

1) bestimme aus den 3 punkten 2 spannvektoren der ebene.
2) ermittle deren kreuzprodukt
3) bestimme d durch einsetzen eines punktes.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für Fortgeschrittene: Denkt man sich die drei Punkte als Spaltenvektoren geschrieben und nimmt man eine weitere Spalte mit den Koordinaten , so kann man die Gleichung der Ebene durch mit Hilfe einer 4×4-Determinante angeben:




Beweisen läßt sich das leicht:

1. Entwickelt man die Determinante nach der vierten Spalte, erkennt man sofort, daß links ein linearer Term mit reellen Koeffizienten entsteht.

2. Setzt man für die Punkte ein, so sind jeweils zwei Spalten gleich, daher verschwindet die Determinante. Mit anderen Worten: erfüllen die Gleichung.

3. Jetzt ist noch zu zeigen, daß die Koeffizienten nicht alle zugleich sein können. Dazu muß man natürlich voraussetzen, daß die Punkte unabhängig sind, also ein echtes Dreieck bestimmen. Das ist genau dann der Fall, wenn die Vektoren und linear unabhängig sind.

Zunächst subtrahiert man in der Determinante die erste Spalte von der zweiten und dritten:



Dann entwickelt man nach der vierten Zeile:



Die zweite Summand liefert offenbar den Koeffizienten , der erste . Gälte nun , so würde die erste Determinante für alle verschwinden. Das kann aber nicht sein, denn die beiden linear unabhängigen Vektoren und lassen sich durch einen geeigneten dritten Vektor zu einer Basis des ergänzen. Und für dieses Basis verschwindet die Determinante nicht.

ist für drei unabhängige Punkte also tatsächlich die Gleichung der durch diese Punkte bestimmten Ebene.


ist wegen ihrer symmetrischen Form eine elegante Darstellung der Ebene durch . Sie ist aber wohl eher für theoretische Untersuchungen als fürs praktische Rechnen geeignet. Zur Berechnung der 4×4-Determinante wird man, von Sonderfällen abgesehen, ähnlich vorgehen wie bei 3. im obigen Beweis. Solche Rechnungen führt man aber auch durch, wenn man das Kreuzprodukt bildet. Wenn also nun einer meinte: "Alter Wein in neuen Schläuchen", so würde ich diesem nicht groß widersprechen wollen ...


Zum Abschluß jetzt noch die Rechnung für das vorgelegte Beispiel. Ich gehe genau wie bei 3. vor.





Und zum Beispiel mit der Sarrus-Regel bekommt man schließlich:

bounce Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Leopold, danke für dein Lösungsweg, so kannte ich das noch nicht.

@Slartibartfass

Bau aus den drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform. Danach bestimmt du mit dem Vektor/Kreuzprodukt den Normalenvektor der Ebene.

So kannst du dann ganz leicht die Ebene in Koordinatenform aufstellen.

Hilft dir das ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bounce
Hey Leopold, danke für dein Lösungsweg, so kannte ich das noch nicht.

@Slartibartfass

Bau aus den drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform. Danach bestimmt du mit dem Vektor/Kreuzprodukt den Normalenvektor der Ebene.

So kannst du dann ganz leicht die Ebene in Koordinatenform aufstellen.

Hilft dir das ?


da gehst du aber mit der kirche um´s kreuz.

warum nicht gleich aus den 2 vektoren mit hilfe des kreuzroduktes den normalenvektor bestimmen.
und anschließend "einen punkt einsetzen" verwirrt
bounce Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, weil die Aufgabe lauten könnte:

Bestimmen Sie eine Ebene(ABC) in Koordinatenform.
Hinweis: Bilden Sie zuerst die Parameterform!

Du hast natürlich Recht. Nur uns hat man das in der Schule immer so beigebracht. Erstmal Parameter und danach die Koordinatenform.
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