karthesische Gleichung von Geraden und Vektoren |
| 07.02.2005, 22:23 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| karthesische Gleichung von Geraden und Vektoren Ich wollte eigentlich heute meine Mathehausaufgaben fertig machen, komme aber an einem Punkt irgendwie nicht weiter. Irgendwas blockiert mich da: Gegeben sind die Punkte A(-1;1) B(1;2) C(2;-1) und D(0;-2) Zuerst soll bewiesen werden, dass ABCD ein Parallelogramm ist, danach die Fläche dieses Parallelogrammes berechnet werden. So weit so gut. Ich habe also gesagt, dass, sofern ABCD ein Parallelogramm sein soll, die Strecken AB und DC dieselbe Länge haben müssen, und die beiden Strecken nicht auf einer Linie sein dürfen. Ich habe dann herausbekommen, dass (AB(2;1) DC(2;1) und beide Strecken haben dieselbe Länge, nämlich (mit Satz des Phytagoras). Nun habe ich gesagt, dass sich die Fläche eines Parallelogrammes mit Hilfe der Formel A=Basis*Höhe ausrechnen lässt. Der Vektor für die Höhe ist ein normaler Vektor am Vektor AB (Höhe senkrecht auf AB), also gilt: AB(2;1) => h(-1;2) Um jetzt die Höhe ausrechnen zu können, habe ich die Höhe h, die durch den Punkt D geht, genommen und versucht den Schnittpunkt zwischen AB und hD herauszufinden. Nennen wir ihn einmal H. Um das zu machen, habe ich jetzt versucht für beide Geraden eine karthesische Gleichung der Form ax+by+c=0 aufzustellen. Und da ist der Haken: Ich habe die beiden Vektoren eingesetzt und dann mithilfe der Punkte, durch die die Geraden gehen, c berechnet. Heraus kam Gleichung vom Vektor hD: -x+2y+4=0 Gleichung vom Vektor AD: 2x+y+1=0 Danach habe ich das Gleichungssystem gelöst (nachdem ich überprüft habe, dass es nur einen Punkt gibt, der diese Gleichung erfüllt) und heraus kam der Punkt H(2/5 ; -9/5). Dieser Punkt liegt aber auf keiner der beiden Geraden. Irgendwo ist mir da ein schwerwiegender Fehler unterlaufen, wahrscheinlich beim Aufstellen der karthesischen Gleichungen -aber ich finde ihn nicht... Kann mir da jemand helfen? Gruss MI |
||
| 07.02.2005, 22:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für den Inhalt eines Parallelogramms, dessen Eckpunkte in Koordinaten gegeben sind, gibt es eine Formel. Es geht aber auch ohne sie - ganz anschaulich: Zeichne um das Parallelogramm herum ein möglichst kleines Rechteck, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Subtrahiere vom Flächeninhalt des Rechtecks die Inhalte der vier rechtwinkligen Dreiecke am Rand. Das war's. Nachtrag Es gibt den wunderschönen Satz von Pick. Er gilt für alle Vielecke, deren Eckpunkte im Koordinatensystem Gitterpunkte (also Punkte mit ganzzahligen Koordinaten) sind. Es sei die Anzahl der Gitterpunkte im Innern des Vielecks und die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Vielecks. Dann hat dieses den Flächeninhalt |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
