Gleichung

13.07.2007, 12:41

pi-quadrat

Gleichung

Finde alle ganzzahligen Lösungspaare von $\begin{eqnarray*} x+y=x^2-xy+y^2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x+y=x^2-xy+y^2 \Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=0 \Leftrightarrow (x-y)^2=0 \end{eqnarray*}$

Da ein Quadrat immer größergleich 0 ist und Gleichheit nur dann gilt, wenn x=0 ist, muss hier x=y sein. Also gibt es unendlich viele Lösungspaare.

Ist das so richtig?

13.07.2007, 13:01

tmo

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deine äquivalenzumformung ist nicht korrekt.

denn $\begin{eqnarray*} -xy - (x+y) \neq -2xy \end{eqnarray*}$

13.07.2007, 13:24

pi-quadrat

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stimmt. es heißt $\begin{eqnarray*} x \cdot y=x^2-xy+y^2 \end{eqnarray*}$

13.07.2007, 15:27

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Schade - die ursprüngliche Gleichung $\begin{eqnarray*} x+y=x^2-xy+y^2 \end{eqnarray*}$ ist deutlich interessanter. Augenzwinkern

13.07.2007, 15:50

pi-quadrat

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Schade - die ursprüngliche Gleichung $\begin{eqnarray*} x+y=x^2-xy+y^2 \end{eqnarray*}$ ist deutlich interessanter. Augenzwinkern

Wie würde man denn an diese Gleichung rangehen? Das kann man doch sicher auch faktorisieren?

13.07.2007, 16:18

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Da gibt es viele Möglichkeiten: In reellen Zahlen betrachtet ist das nichts weiter als eine Ellipse, auf der können natürlich nur endlich viele Punkte mit ganzzahligen Koordinaten liegen. Die Hauptachsentransformation ergibt

$\begin{eqnarray*} 0 = 4(x^2-xy+y^2-x-y) = (x+y-2)^2 + 3(x-y)^2 - 4\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sind, dann sind es $\begin{eqnarray*} x+y-2,x-y \end{eqnarray*}$ auch. Für $\begin{eqnarray*} |x-y|\geq 2 \end{eqnarray*}$ hat (*) keine Lösung, also muss man nur noch die drei Fälle $\begin{eqnarray*} x-y = 0,\; +1,\; -1 \end{eqnarray*}$ unter die Lupe nehmen...

P.S.: Hauptachsentransformation ist hier nicht zwingend erforderlich - man kann auch andere quadratische "Zerlegungen" als (*) nehmen wie z.B.

$\begin{eqnarray*} 4(x^2-xy+y^2-x-y) = (2x-y-1)^2 + 3(y-1)^2 - 4 \end{eqnarray*}$ ,

ist letztendlich egal. Augenzwinkern

EDIT: Ein Bildchen noch zur Veranschaulichung der Ellipse:

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