Vektorfeld und Kurvenintegral

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Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld und Kurvenintegral
Hallo zusammen,

habe an einer wirklich schweren Aufgabe zu knabbern:

Für das Vektorfeld mit einer festen Konstante und die Kurve

berechne man das Kurvenintegral

Für welches c ist dieses Integral von der Kurve K unabhängig??

Habe leider keine Ahnung was die von mir möchten. Kann mir vielleicht jemand von euch helfen??

Liebe Grüße

Eva
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Kurvenintegral 2.Art (Kurvenintegral)



Rechne also und aus und setze es in das Standardskalarprodukt ein und integriere dann im 1-dimensionalen.


Das Integral ist dann unabhängig vom Weg wenn das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist, d.h. wenn ein Potential existiert mit
Morphi Auf diesen Beitrag antworten »

also :

und

damit:







stimmt das soweit??

Gruß
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich auch so, wenn ich das so nachrechne.

Aber ob das stimmt weiß ich nicht.

Liebe Grüße

Eva
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Morphi
also :

und

damit:




Wo kam den bei dir das Minus her? Und das plus zwischen dem Integral hat auch gefehlt Augenzwinkern

Zitat:



dementsprechen hier auch noch das Minus dazu

Zitat:

Edit:
Nein das Ergebnis ist meiner Meinung nach
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kiste, danke für deine Hilfe erstmal.

Aber jetzt hänge ich wie ich auf den Wert von c komme.
Habe deine erste Darstellung dazu nicht wirklich kapiert ... sorry.

Das Thema ist leider neu für mich.

Liebe Grüße

Eva
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ok du suchst eine Funktion so dass der Gradient der Funktion gleich deinem Vektorfeld ist.
D.h. es gilt dein Vektorfeld

Um jetzt zu bestimmen integrierst du wieder die einzelnen Komponenten in und schaust wann es ein Potential geben kann.
Beachte beim Integrieren das du Konstanten hinzufügen kannst. Beispielsweise wenn du nach x integrierst, kann die Konstante y und z enthalten
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

also die Integrale ok:







aber wo hier jetzt ein Potential sein soll ... tut mir leid ... verstehe ich nicht

Worin soll denn der Unterschied bestehen??

Liebe Grüße

Eva
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Potential ist die Funktion die dein Vektorfeld als Gradient hat.

Jetzt zu den Integralen:
So du hast jetzt das x^2/2 und z^2/2, diese sind auf jeden Fall in deiner Funktion Phi vorhanden da man sie sowohl zum oberen als auch zum unteren Integral hinzufügen kann.

Beim einen Integral hast du jetzt zy beim anderen czy. Wie muss man also c wählen damit die beiden mit einander harmonieren? Immerhin kann man beim Integral nach y czy nicht als Konstante hinzufügen.

Wenn du das c bestimmt hast: Wie sieht dann Phi aus?
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also vom gefühl her würde ich c = 1 nehmen ..

aber frag mich nicht warum :-)

Was jetzt Phi angeht ... hmmmm
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh joar c=1 stimmt schon einmal vllt. siehst du ja noch genauer warum wenn du Phi bestimmst.

Versuche Phi aus den Komponenten der Integrale zusammenzubauen, z.B.
und jetzt versuche f so zu bestimmen das auch die Ableitung von g nach y und nach z mit z bzw. cy+z übereinstimmt.
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt verstehe ich worauf du hinaus willst :-) ..

ok garnicht so einfach:

wenn ich nach z ableite passt das dann alles wunderbar .. aber ich ich nach y ableite ... hab ich nur cz als ergebnis und nicht zy ... hmm

kann ich dann c=y annehmen??

Liebe Grüße

Eva
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst wenn du nach y ableitest z nicht zy.

Wenn du z brauchst und cz bekommst siehst du auch gleich warum c=1 gelten muss smile

c ist eine Konstante und keine Variable.

Jetzt hast du f bestimmt mit , was ist jetzt also dein Potential?
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich dich richtig verstanden habe wäre mein Potential jetzt :



Liebe Grüße
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

genau das stimmt smile
Überprüfen kann man es ja leicht in dem man den Gradienten davon bildet und das wieder dein Vektorfeld mit c=1 ergibt.
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das beweist mir dann das für c=1 das Integral von der Kurve K unabhängig ist ??

Vielen vielen Dank für deine Hilfe schonmal

Liebe Grüße

Eva
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr den entsprechenden Satz hattet dann beweist es das. Ansonsten ist es einfach so es war ja nicht gefragt warum Big Laugh (ok klar das ist implizit bei mathe immer gefragt)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr die "Integrabilitätsbedingungen" schon hattet, dann ist es damit viel einfacher zu ermitteln, ob v ein Gradientenfeld ist.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Wenn ihr die "Integrabilitätsbedingungen" schon hattet, dann ist es damit viel einfacher zu ermitteln, ob v ein Gradientenfeld ist.


Jetzt hast du das Wort gleich dazu gesagt ... fein gemacht. Teufel
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