Ljapunov-Funktion finden?

13.07.2007, 23:49	jenni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ljapunov-Funktion finden? Abend, weiss jemand, wie man vorgehen kann um eine Ljapunov-Funktion zu finden? Wenn ich z.B. die folgende Dgl betrachte: $\begin{eqnarray} y'' = \frac{1}{5(1-y)}-y \end{eqnarray}$ und die kritischen Punkte auf Stabilität überprüfen möchte (per Ljapunov-Funktion). Kritische Punkte sind hier ja $\begin{eqnarray} \eta_{1/2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{10} \end{eqnarray}$ bzw. wenn ich die Dgl als System schreibe: $\begin{eqnarray} y_1' &=& y_2 \\ y_2' &=& \frac{1}{5(1-y_1)} -y_1 \end{eqnarray}$ sind die krit. Punkte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 \\ \eta_{1/2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ "Erraten" ist hier ja etwas schwierig, oder?
14.07.2007, 13:05	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ljapunov-Funktion finden? Es gibt kein universelles Rezept, um eine Ljapunov-Funktion zu finden. Oft ist man mit "geschicktem" Raten am erfolgreichsten. Dafür bedarf es aber meist viel Erfahrung. Schau dir also z.B. Systeme an, deren Ljapunov-Funktion man kennt .
14.07.2007, 13:41	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ljapunov-Funktion finden? für differentialgleichungen der form y''=f(y), wobei $\begin{eqnarray} y(x)\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt, kann man immer eine lyapunovfkt ausrechnen. dazu schreibt man die dgl als system 1. ordnung. mit u=y und v=y' folgt u'=v und v'=f(u), also $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v\\f(u)\end{bmatrix}. \end{eqnarray}$ falls V(u,v) eine Lyapunov-fkt sein soll, so muss $\begin{eqnarray} \left(\begin{bmatrix}\partial_u V(u(x),v(x))\\ \partial_v V(u(x),v(x))\end{bmatrix}\Big\|\begin{bmatrix}v(x)\\f(u(x))\end{bmatrix}\right)\le 0 \end{eqnarray}$ gelten, wobei $\begin{eqnarray} (\cdot\|\cdot) \end{eqnarray}$ das übliche skalarprodunkt in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ darstellt. setzt man jetzt $\begin{eqnarray} \partial_u V(u,v)=-f(u) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_v V(u,v)=v \end{eqnarray}$ so ist das skalarprodunkt sogar gleich 0. das heißt V(u,v) ist dann gegeben durch $\begin{eqnarray} V(u,v)=\frac{1}{2}v^2-\int f(u)\ du \end{eqnarray}$

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