stationäre zustände

14.07.2007, 17:16	susi521	Auf diesen Beitrag antworten »
stationäre zustände $\begin{eqnarray} K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hi, ich habe mit stationären Zuständen bei Markov-Ketten Probleme, wie berechnet man die? Die obige Matrix ist eine Matkov-Matrix und die dazu gehörigen stationären Zustände lauten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \alpha \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \alpha \end{eqnarray}$ wie kommen die denn darauf ? mit bestem dank susi
14.07.2007, 19:28	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Die stationären Zustände sind (soweit ich mich richtig erinnere) die Vektoren (genauer: die Zufallsvektoren) die bei der Anwendung von K konstant bleiben (genauer: deren Verteilung bei Anwendung von K konstant bleibt). Du mußt also zunächst die Fixpunktgleichung Kx=x lösen. Deren Lösung ist der Nullraum von K-I, wegen (K-I)x=Kx-Ix=0. Das ist ein Unterraum, und zwar mit den Elementen (t,0,t,0,0,0,s), t,s aus IR beliebig. Und in diesem Raum suchst du jetzt Elemente mit lauter positiven Komponenten, bei denen die Summe der Elemente zusätzlich noch 1 ist, weil nur diese sind Verteilungen. Deine beiden alphas erfüllen diese beiden Bedingungen. Es gibt aber auch noch andere Elemente, das heißt entweder hast du nicht alle Lösungen, oder ich kann mich an irgendwas nicht mehr so ganz genau erinnern, und Stationarität fordert noch mehr. Jedenfalls hast du die drei Bedingungen s>=0, t>=0 und 2t+s=1, was sich umformen läßt zu t>=0, 1/2>=t. Also sind die stationären Lösungen (t,0,t,0,0,0,1-2t) für t in [0,1/2], deine beiden Lösungen sind gerade die Ränder dieses Intervalls t=0 und t=1/2.
14.07.2007, 21:35	susi521	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, es gibt wahrhaftig mehrere.. ich sollte aber nur zwei zeigen....und es klappt, wie du es mir erklärt hast... thx susi

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