Eulerische Zahl

08.02.2005, 16:02

Milkaschokolade

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Eulerische Zahl

Hallo,
wir besprechen z.Z. Exponentialfunktionen. Jetzt hat mein Lehrer angefangen uns irgendwas über die Eulersche Zahl zu erzählen und das die etwas ganz besonderes sei...
Ich verstehe nur Bahnhof... Was hat das mit Eulerschen Zahl auf sich? Mein Lehrer meinte, dass mit dieser Zahl irgendwas immer 1 oder 0 wird und das man mit der Zahl irgenwelche Ableitungen ganz leicht finden kann...
Ich verstehe das überhaupt net... Kann mir das vll mal jemand ansatzweise erklären?

08.02.2005, 16:10

landy

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e^x abgeleitet ergibt wieder e^x das ist zum beispiel was besonderes

die zahl e ist etwas besonderes in der mathemathik da sie sie min der natur verknüpft. mit dieser zahl lassen sich z.b: die Vermehrung von Bakterien voraussagen u.v.m

08.02.2005, 16:12

aRo

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ansatzweise vielleicht.

Leider weiß ich auch nicht genau, wie man auf die eulersche Zahl gekommen ist, aber sie ist 2.718281828...

Mit den Ableitungen hat dein Lehrer wohl gemeint, dass die Ableitung von e^x = e^x ist.
Das ist natürlich schön einfach :-)

Das mit 1 und 0 komm ich grad nicht drauf, was es damit auf sich haben könnte unglücklich

unglücklich

gruß,
aRo

08.02.2005, 16:14

landy

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villeicht meinte er e^0=1 ber das ist doch unabhängig von der basis

08.02.2005, 16:18

DerEierMann

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Das besondere an der natürlichen Exponentialfunktion (e^x) ist auch, dass das Verhalten der Steigung an einer Stelle a zu ihren Funktionswert an der Stelle a gleich 1 ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{f(a)}{f'(a)} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [e^x]`=e^x \end{eqnarray*}$

08.02.2005, 16:19

hummma

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Zitat:

Original von aRo

Leider weiß ich auch nicht genau, wie man auf die eulersche Zahl gekommen ist, aber sie ist 2.718281828...

Man kommt durch ueber die Integration von 1/x auf die Zahl.

Besonders an der Zahl ist, dass sie Transzendent ist. Sie kann damit glaub ich keine Loesung einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sein und kann nicht konstruiert werden. Was des bringt oder wie man trauf kommt weiss ich auch nicht wirklich.

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08.02.2005, 16:24

DerEierMann

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Exponentialfunktionen haben die Besonderheit, dass das Verhalten an einer Stelle a und ihren Funktionswert an a konstant ist. e ist eben die Basis, für die dieses Verhalten gleich 1 ist, womit folgt dass die Ableitung von e^x gleich e^x ist.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{f'(x)} = 1 \end{eqnarray*}$ woraus dann durch Umformung folgt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f'(x) \end{eqnarray*}$

Durch versuchen weiss man, dass es eine Basis geben muss, für die dieses Verhalten gleich eins ist gilt. Es hat sich eben ergeben, dass dieses Basis die Eulerische Zahl ist, bzw so KANN man drauf kommen.

08.02.2005, 17:33

Seimon

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Zitat:

Original von hummma

Zitat:

Original von aRo

Leider weiß ich auch nicht genau, wie man auf die eulersche Zahl gekommen ist, aber sie ist 2.718281828...

Man kommt durch ueber die Integration von 1/x auf die Zahl.

huh?

$\begin{eqnarray*} e= \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} e=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

08.02.2005, 17:36

JochenX

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Zitat:

Original von Seimon
$\begin{eqnarray*} e=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

und wo wir schon dabei sind:
$\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$
oder erzähle ich da jetzt unsinn?!

08.02.2005, 17:41

Seimon

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stimmt

Freude

08.02.2005, 17:49

iammrvip

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08.02.2005, 18:32

hummma

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Naja du musst ja irgendwie auf den Grenzwert kommen. Des geht so:

$\begin{eqnarray*} ln(e)=1;\ln(1)=0;\ ln'(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln'(1)=\lim_{h \to 0} \frac {ln (1+h)-ln(1)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac {ln(h+1)}{h}= \lim_{h \to 0} ln(1+h)^\frac{1}{h} =1=ln(e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (1+h)^\frac{1}{h} =e \end{eqnarray*}$

oder :

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{h \to 0} [(1+\frac{1}{n})^n] \end{eqnarray*}$

08.02.2005, 18:46

Seimon

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Also irgendwie ist mir das noch nicht ganz klar verwirrt

verwirrt

ist der $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ nicht über $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ definiert?

und woher weisst du das $\begin{eqnarray*} ln'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ohne das du e vorher kennst?

übrigens: dein letzter Limes ist fehlerhaft!

08.02.2005, 19:20

Milkaschokolade

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So ganz klar ist mir das immer noch net...
Aber habe jetzt schon eine konkretere Frage. Wir haben versucht e mit der Formel e = (1+1/n)^n auszurechnen. Bevor wir diese Formel hatten, haben wir h gegen null gehen lassen und das h dann mit 1/n ersetzt.... ICh weiß nicht ob ihr das jetzt versteht...
Warum haben wir h mit 1/n ersetzt...?
Mein Lehrer hat uns da irgendwie was von Folgen erzählt.......

08.02.2005, 20:16

Mathespezialschüler

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Vor allem für hummma: Erstmal gibt es sehr viele Wege, zur Zahl e zu kommen (siehe iammrvips Link). Der in der Schule am häufigsten gebrauchte und wohl auch bekannteste ist

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Es gibt aber noch weitere, außer denen aus dem Link, z.B. diese hier.

@Milkaschokolade
Ihr hattet also $\begin{eqnarray*} e=\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} \end{eqnarray*}$
Wenn n gegen unendlich geht, dann geht doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0. Und da h auch gegen 0 gehen soll, hat dein Lehrer einfach mal $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gesetzt.
Das mit den Zahlenfolgen ist dann so: Wenn du da nacheinander die natürlichen Zahlen 1,2,3 usw. einsetzt, dann erhältst du da eine Folge von Zahlen, das wird einfach Folge genannt.
Z.B. ist 1,2,3,4,5, ... auch eine mathematische Zahlenfolge Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.02.2005, 20:24

hummma

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Der ln ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} log_e(x)=:ln(x) \end{eqnarray*}$

und damit ist

$\begin{eqnarray*} ln(e)=1 \end{eqnarray*}$

Man will das integral berechnen: $\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{1}^{x}~\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$ . Man such also eine Funktion von der man die Ableitung kennt. Die Funktion muss folgende Eigenschaften haben:

$\begin{eqnarray*} F(1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D=R^+ \end{eqnarray*}$
fuer x>0 ist f'(x)>0 und damit ist sie streng monoton steigend
Sie ist diffbar also muss sie auch stetig sein.

Es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} [F(ax)]'=\frac{1}{ax}*a=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Damit unterscheiden sich F(ax) und F(x) nur um eine konstante C

$\begin{eqnarray*} F(ax)=F(x)+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 --> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(a)=C \end{eqnarray*}$

Damit ist

$\begin{eqnarray*} F(ax)=F(x)+F(a) \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} F(ab)=F(a)+F(b) \end{eqnarray*}$ das ist auch eine Funktionalgleichung des Logarithmus.

Man waehlt fuer a den wert $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F(a)=F(\frac{a}{b})+F(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(\frac{a}{b})=F(a)-F(b) \end{eqnarray*}$ (auch eine Funktionalgleichung des Logarithmus).

Das die Gleichung $\begin{eqnarray*} F(a^b)=b*F(a) \end{eqnarray*}$ auch erfuellt ist kann man auch zeigen is mir grad nur zu viel schreibarbeit.

Damit kann man F dann identifizieren:

$\begin{eqnarray*} x=b^{log_b(x)} |\ F(..) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=F(b^{log_b(x)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=log_b(x)*F(b) \end{eqnarray*}$

Dann waehlt man b so dass gilt F(b)=1 und nennt es e:

$\begin{eqnarray*} F(x)=log_e(x)=:ln(x) \end{eqnarray*}$

Damit ist:

$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

08.02.2005, 20:31

Seimon

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was mich stutzig machst, ist dass du den ln verwendest um e herzuleiten und e um den ln herzuleiten verwirrt

verwirrt

oder seh ich da was falsch?

08.02.2005, 20:36

Mathespezialschüler

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@hummma
Es hat doch niemand bestritten, dass es so auch geht, sondern es wurde nur 'bemängelt', dass du es so dargestellt hast, als wäre es der einzige Weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings ist mir schleierhaft, warum du das jetzt alles da hingeschrieben hast verwirrt

verwirrt

08.02.2005, 20:37

hummma

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Die beiden Beweise gehoeren andersrum. Ein weg wie man auf e kommt ist es eine Zahl zu suchen fuer die gilt F(e)=1

Und was F ist hab ich vorher gezeigt naemlich:

$\begin{eqnarray*} F(x)=log_e(x) \end{eqnarray*}$

Man muss noch die Basis des logs bestimmen und das geht ueber den Beweis den ich erst gepostet hab.

Zitat:

Allerdings ist mir schleierhaft, warum du das jetzt alles da hingeschrieben hast

Weil mir langweilig war/ ist. Ausserdem glaubt Seimon den beweis ja nicht. Das es nicht der einzigste ist ist klar.

08.02.2005, 20:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von hummma
Damit kann man F dann identifizieren:

$\begin{eqnarray*} x=b^{log_b(x)} |\ F(..) \end{eqnarray*}$

Woher nimmst du das? "Nur" weil F die Funktionalgleichungen des Logarithmus erfüllt, folgt ja noch nicht $\begin{eqnarray*} F(x)=\log_b(x) \end{eqnarray*}$

edit: Achso, du setzt schon voraus, dass diese Gleichung gilt.

08.02.2005, 21:39

Seimon

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Zitat:

Original von hummma
Ausserdem glaubt Seimon den beweis ja nicht.

Ich würd eher sagen: er versteht ihn nicht Big Laugh

Big Laugh

Ich bin ja Techniker und hab mit beweisen nix am Hut unglücklich

unglücklich

Ich werd mir diesen und den vom MSS verlinkten Thread nochmal in Ruhe zu gemüte führen vielleicht klappts dann!

08.02.2005, 21:52

Milkaschokolade

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Zitat:

@Milkaschokolade
Ihr hattet also $\begin{eqnarray*} e=\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} \end{eqnarray*}$
Wenn n gegen unendlich geht, dann geht doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0. Und da h auch gegen 0 gehen soll, hat dein Lehrer einfach mal $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gesetzt.
Das mit den Zahlenfolgen ist dann so: Wenn du da nacheinander die natürlichen Zahlen 1,2,3 usw. einsetzt, dann erhältst du da eine Folge von Zahlen, das wird einfach Folge genannt.
Z.B. ist 1,2,3,4,5, ... auch eine mathematische Zahlenfolge Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ne, wir hatten ((b^h)-1)/h
und dabei haben wir dann h = 1/n ersetzt....
Und das verstehe ich eben nicht warum...

08.02.2005, 22:05

Mathespezialschüler

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Wenn n gegen unendlich geht, dann geht doch 1/n gegen 0. Also geht doch $\begin{eqnarray*} n\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \end{eqnarray*}$ auch gegen den Grenzwert, weil 1/n gegen 0 geht und nur an der Stelle von h steht, was vorher auch gegen 0 ging.

PS: Alles das, was wir da oben so an tollen Hieroglyphen schreiben, braucht dich nicht zu interessieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

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