[WS] Lineare Gleichungssysteme 1 |
14.07.2007, 18:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
[WS] Lineare Gleichungssysteme 1
|
||
14.07.2007, 18:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Norm Sei X ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung: mit den Eigenschaften: heißt Norm auf X. |
||
14.07.2007, 20:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1a. Beispiele für Vektornormen Lp-Normen Betragssummennorm Euklidische Norm Maximumnorm |
||
14.07.2007, 20:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1b. Operatornormen Gegeben seinen 2 Vektornormen auf . Für einen linearen Operator ist die zugehörige Operatornorm definiert als: Dabei gelten die Äquivalenzen (Beweis): Aus Kompaktkeitsgründen gilt auch: Eine weitere wichtige Eigenschaft (Verträglichkeit), die direkt aus der Definition (beachte das Supremum!) folgt, ist: Damit folgt noch eine Eigenschaft, die Submultiplikativität (bedenke Bx ist ein Vektor!). Da es sich hier nun um 2 lineare Abbildung handelt, führen wir noch einen dritten VR Z ein. AB: X-> Y -> Z Beweis 1 (Äquivalenzen): Folgt, wenn man sich verdeutlicht, dass dadurch das Längenverhältnis von x, Ax in den Normen in X, Y dargestellt wird. Ferner ist die Abbildung stetig auf einem Kompaktum. Beweis 2 (Normeigenschaften): Im folgenden gilt X=Y und man betrachtet den Vektorraum der nxn-Matrizen. Die durch die Vektornorm X durch obige Definition erzeugten Vektornormen nennt man induzierte Matrixnormen. Für diese gilt insbesondere die Eigenschaft : |
||
14.07.2007, 20:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1c. Spaltensummennorm Spaltensummennorm Beweis 1: Sei . Dann gilt:
Somit gilt |
||
15.07.2007, 03:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1d. Spektralnorm Spektralnorm Beweis : Es die Matrix symmetrisch. Daher gibt es ONB von Eigenvektoren , d.h. . Für jedes x ist . Daraus folgt, dass alle Eigenwerte nicht negativ sind, denn es gilt: Für den Spektralradius gilt: Somit folgt: Wenn u der Eigenvektor zum größten Eigenwert ist, folgt mit: Und somit die Gleichheit. |
||
Anzeige | ||
|
||
15.07.2007, 03:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1e. Zeilensummennorm Zeilensummennorm Beweis 3: Sei . Dann gilt:
|
||
15.07.2007, 04:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1f. Verträglichkeit Eine Matrixnorm und zwei Vektornorm X,Y heißen verträglich, wenn gilt: |
||
15.07.2007, 04:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1g. Submultiplikativität Eine Matrixnorm heißt submultiplikativ, wenn gilt |
||
15.07.2007, 04:30 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1h. Frobenius- Norm Als klassisches Beispiel für eine nicht induzierte Matrix Norm wird die Fobenius Norm angeführt: Diese ist für n>1 keine Induzierte MAtrixnorm, denn es gilt: Hingegen gilt für jede Induzierte Matrixnorm: die Frobeniusnorm ist submultiplikativ und mit der euklidischen Norm verträglich. |
||
15.07.2007, 04:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
1i. Äquivalenz von Normen In endlich-dimensionalen Vektorräumen sind je 2 Normen äquivalent, es gibt also 2 Konstanten c und C mit: D.h. die Konvergenz einer Folge hängt nicht von der gewählten Norm ab. |
||
15.07.2007, 04:58 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2. Kondition und Fehlerabschätzung Wenn man nun ein LGS Ax = b mittels Computer lösen möchte, so entstehen schon unabhängig von der Wahl des Lösungsalgorithmus allein durch die Übergabe der Daten i.A. Fehler (Endlichkeit der Maschinenzahlen). D.h. durch die Implementierung wird das System: lösen. Dabei stellt sich natürlich die Frage, wir stark sich die Fehler in A, b auf die zu berechnende Größe x übertragen. Im folgenden sei A eine reguläre Matrix. |
||
15.07.2007, 18:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2a. Kondition einer Matrix Betrachtet werden hier die beiden LGS Welchen Einfluss hat nun die Störung von b auf die Lösung x? Dabei folgt die letzte Abschätzung aus der Verträglichkeit von Vektor und Matrixnorm. Weiter gilt die folgende Abschätzung: Somit folgt für den relativen Fehler von x die Abschätzung Damit kann man den Term als Verstärkungsfaktor des relativen Fehlers von b ansehen. Man nennt ihn die Kondition von A: Welche minimale Kondition (Verstärkung) ist möglich? Welche Matrizen sind gut konditioniert? Orthogonale Matrizen Q sind gut konditioniert, gilt doch für ihre Spektralkondition( Spektralradius): Weiter notieren wir hierbei noch die Längentreue einer Orthogonalen Abbildung: Beispiel für schlecht konditionierte Matrizen Hilbert-Matrix Hier wächst die Kondition exponentiell mit n. |
||
15.07.2007, 18:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2b. Kondition bei Normalengleichungen Sei A eine reguläre Matrix. Betrachtet man die Spektralnorm, dann ist: Beweis: Es besitzen und dieselben Eigenwerte, gilt doch (: Spektrum) Daraus folgt und somit . Des weiteren gilt: Somit ergibt sich dann: |
||
15.07.2007, 19:36 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2c. Störungslemma Störungslemma Die Matrix B habe die Norm . Dann ist die Matrix regulär und es gilt: Beweis: Zunächst soll die Regularität gezeigt werden. Es gilt dabei für alle : Wegen der Voraussetzung folgt: Und es gilt für alle Daraus folgt direkt die Injektivität von (I+B) und wegen der endl. Dimension direkt auch die Bijektivität. Somit gilt: Durch Umstellen erhält man die Behauptung: |
||
15.07.2007, 23:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2d. Störungssatz Durch die Eingabe der Daten des LGS wird ja nicht nur der Vektor b gestört, sondern auch die Matrix A (regulär) . Sei also: Gilt für A dann , so ist die Matrix ebenfalls regulär und es gilt: Im Falle gilt dann: Somit kann man auch hier die Kondition von A als Verstäkungsfaktor der relativen Fehler von b und A verstehen. Beweis: Nach Voraussetzung gilt , damit folgt auch . Mit dem Störungslemma ist die folgende Matrix regulär: Es gilt: Da invertierbar ist, folgt: Daraus folgt: Durch Umstellen folgt nun die Behauptung: |
||
16.07.2007, 00:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2e. Beispiel Störungssatz Es soll nun ein Beispiel konstruiert werden, so dass im Strörungsatz Gleichheit gilt. Sei A nun eine symmetrische positiv definite Matrix. Dann ist A auch regulär. Weiter seien:
Betrachtet werden soll das gestörte System: Es gilt dann: Diese haben die Lösungen: Es folgt dann, mit dem Wissen über die Spektralnorm einer symmtetrischen Matrix |
||
16.07.2007, 02:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
2f. Kondition und genaue Stellen Sei die Kondition von A, . Für die relativen Fehler von A und b gelte: Dann ist der Term: Damit gilt für den relativen Fehler im Ergebnis: d.h. man verliert s-Stellen gegenüber der gegebenen Genauigkeit von A und b. |
||
16.08.2007, 13:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ausblick Mit dem Thema "Lösen von Linearen Gleichungssystemen" beschäftigt sich der nächste Workshop. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |