Kegelvolumen mit Mehrfachintegral und Zylinderkoordinaten

14.07.2007, 19:05	Lani_DX	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelvolumen mit Mehrfachintegral und Zylinderkoordinaten Beim Aufstellen des Integrals nehme ich anscheinend die falschen Grenzen, denn ich komme nicht auf das richtige Ergebnis. Gegeben ist ein Körper des R³ der begrenzt wird durch $\begin{eqnarray} z = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 9 (5 - z ) \end{eqnarray}$ Zylinderkoordinaten : $\begin{eqnarray} r* \cos(\gamma ), r * \sin(\gamma ), z \end{eqnarray}$ Es müsste sich bei diesem Körper ja um einen Kegel handeln, da der Radius mit steigendem z kleiner wird. Unten ist es bei durch z = 1 begrenzt. Ich möchte nun das Volumen berechnen, mithilfe der Zylinderkoordinaten. Dafür stelle ich ein dreifaches Integral auf: $\begin{eqnarray} \int_{6}^{0}~\int_{0}^{2\pi }~\int_{1}^{5}~(\sqrt{9(5-z)} r)~dz ~d\gamma ~dr \end{eqnarray*}$ Ich integriere über dem Radius, da dieser sich verändert. Das r erhalte ich durch die Transfortmationsformel. Die Kreislinie (lambda) ist komplett und wandert von 0 bis 2pi Die Höhe z geht von 1 bis max 5, da dort die Spitze unseres Kegels erreicht ist. Der Radius ist bei 0, an der Spitze und bei 6 bei z = 1
14.07.2007, 19:56	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ein Kegel wird es wohl nicht sein. Wenn $\begin{eqnarray} r^2 = x^2 + y^2 = 9 \cdot (5-z) \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} r = 3 \cdot \sqrt{5 - z} \end{eqnarray}$ . Ein Kegel hätte hier eine lineare Abhängigkeit. Bist Du sicher, daß z = 1 die untere Begrenzung sein soll? Oder ist es die obere Begrenzung des Körpers? Meinst Du $\begin{eqnarray} \dd r \end{eqnarray}$ anstatt $\begin{eqnarray} \dd h \end{eqnarray}$ ? Ist es nicht einfacher von einem Rotationskörper auszugehen und die entsprechende Formel zu nehmen?
14.07.2007, 20:08	Lani_DX	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Radius der Kreise auf der x/y-Ebene ist abhängig von der Höhe auf der diese liegen. Je höher wir gehen, desto kleiner wird der Radius. Wenn ich jetzt ganz viele Scheiben übereinander lege, deren Radius immer kleiner wird, haben wir doch einen Kegel?! Doch ist es nach unten begrenzt. Nach oben hört es dort auf, wo der Radius gleich 0 ist. Die genaue Aufgabe findet man hier: http://www.iaa.tu-bs.de/ss07/et2/et2-ss07-11.pdf 41b) und dh sollte dr heißen. habe es korrigiert.
14.07.2007, 20:56	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Aufgabe soll aber nicht das Volumen des Korpers bestimmt werden sondern die Ladung des Körpers (Wenn die Ladungsdichte durch Massendichte ersetzt wird, kann man auch sagen, es soll die Gesamtmasse bestimmt werden). Man muß also die Dichtefunktion beachten. Ich verstehe den Körper so, daß er durch die Fläche z = 1 oben begrenzt wird. Du hast recht, der Radius wird nach oben kleiner; beim Kegel wird er das aber linear mit z (zeichne es Dir doch mal auf). Hier ist das aber nicht der Fall!
14.07.2007, 21:45	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
z=1 ist die untere Begrenzung. Bei z=5 ist der Radius 0. Je kleiner z wird von hier aus, desto größer wird der Radius der Kreise zum Niveau z. Für z>5 ist der Körper natürlich nicht definiert.
14.07.2007, 23:35	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Einverstanden, dann stelle ich mir den Körper mal als Zuckerhut vor . Zur Aufgabe: Es soll die Gesamtladung Q bestimmt werden; die Ladungsverteilung ist gegeben durch $\begin{eqnarray} \varrho \left(x,y,z\right) = z \end{eqnarray}$ ; die Begrenzungen sind wie oben angegeben. Gesucht ist also: $\begin{eqnarray} \int_V \varrho \left(x,y,z\right) \, \dd V \end{eqnarray}$ Das Volumenelement ist in Zylinderkoordinaten: $\begin{eqnarray} \dd V = \dd \gamma \, r \, \dd r \, \dd z \end{eqnarray}$ Der Körper ist rotationsymetrisch, also läßt sich die Winkelabhängigkeit separieren; mit $\begin{eqnarray} r^2 = 9 \cdot (5 - z) \end{eqnarray}$ hat man eine Abhängigkeit von r und z, die Integration ist also nicht separierbar. Ich wähle die Integration über r als innen gelegen. Damit sieht mein Vorschlag wie folgt aus (ich weiß, Intagrationsvariable und -grenze sind gleich; das ist nicht die reine Lehre, aber ich mach das mal so): $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2 \pi} \dd \gamma \cdot \int_{1}^{5} z \cdot \left( \int_{0}^{r(z)} r \, \dd r \right) \dd z \end{eqnarray}$ Einverstanden?
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14.07.2007, 23:54	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, diesen Ansatz habe ich auch so verfolgt.

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