Symmetrische Matrix

14.07.2007, 17:39

meli05

Symmetrische Matrix

Hallihallo,

ich habe gerade diese matrix entdeckt :-)

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

warum sind die Eigenwerte und Vektoren für a=0 und $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gleich bzw. wie hängen die Eigenwerte der Matrix für a=0 und der Matrizen für a ungleich 0 zusammen?

-> ich könnte mir vorstellen, dass es damit zusammenhängt, dass ich nur die diagonalelemente der matrix ändere, wenn ich werte für a einsetze... und jede symmetrische Matrix ist ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Wenn ich Werte für a einsetze erhalte ich ja immer eine ähnliche Matrix zu der Matrix mit a=0 und Ähnliche Matrizen haben ja auch immer die selben Ewerte/vektoren oder?

mfg
meli

14.07.2007, 22:25

Mazze

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Zitat:

Wenn ich Werte für a einsetze erhalte ich ja immer eine ähnliche Matrix zu der Matrix mit a=0 und Ähnliche Matrizen haben ja auch immer die selben Ewerte/vektoren oder?

Das ist nicht richtig. Die Spur bleibt unter Ähnlichkeit invariant. Für a = 0 ist die Spur = 0 und für a != 0 ist die Spur 3a , damit ist überhaupt gar keine Matrix mit a!=0 ähnlich zur Matrix mit a = 0.

Zitat:

warum sind die Eigenwerte und Vektoren für a=0 und $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gleich

Sind sie nicht. Setze mal a = 2 ein. Rechne doch die Eigenwerte der allgemeinen Matrix aus, dann bekommst Du den zusammenhang.

15.07.2007, 09:32

meli05

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stimmt nur die Ev sind ja immer gleich... Hammer

ok ich habs versucht:

$\begin{eqnarray*} det(A-xE)=\begin{pmatrix} a-x & 1 & 1 \\ 1 & a-x & -1 \\ 1 & -1 & a-x \end{pmatrix} =(a-x)^3-2-3(a-x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-x)^3-2-3(a-x)=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} -x^3+a^3-3a^2x+3ax^2-3a+3x-2 \end{eqnarray*}$

wie kann ich das denn nun lösen? x oder a ausklammer bringt mich auch nicht weiter verwirrt

danke schonmal Augenzwinkern

lg
meli

15.07.2007, 10:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von meli05
$\begin{eqnarray*} (a-x)^3-2-3(a-x)=0 \end{eqnarray*}$

Es wäre besser, damit weiterzuarbeiten. Substituiere t = a - x. Setze dann -1 für t ein.

15.07.2007, 10:45

meli05

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ah ok und dann poly.division:

$\begin{eqnarray*} (t^3-3t-2) : (t+1)=t^2-t-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2=2 ~-->a-x=2 ~--> x_2=-2+a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_3=-1 ~-->a-x=-1 ~--> x_{1,3}=1+a \end{eqnarray*}$

kann das sein? verwirrt

15.07.2007, 11:23

therisen

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Zitat:

Original von meli05
$\begin{eqnarray*} t_2=2 ~-->a-x=2 ~--> x_2=2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_3=-1 ~-->a-x=-1 ~--> x_{1,3}=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a-x=2 \not\Leftrightarrow x=2a \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

15.07.2007, 11:49

meli05

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oh man das tagelange lernen hinterlässt so langsam spuren :-)

habs nun verbessert passt das dann so?

mfg
meli

15.07.2007, 11:51

therisen

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Ja.

15.07.2007, 12:02

meli05

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und wie hängen nun die eigenwerte der Matrix mit a=0 und der mit a ungleich 0 zusammen? verwirrt

oder warum sind die eigenvektoren gleich?

15.07.2007, 12:04

therisen

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Bestimm doch mal die Eigenräume.

15.07.2007, 12:10

meli05

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mhh kann ich das auch anders sehen, begründen-? weil eigenräume kommen bei uns nicht dran, deshalb weiß ich jetzt auch nicht, wie ich diese berechne verwirrt

15.07.2007, 12:29

therisen

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Bei der Bestimmung der Eigenräume berechnet man $\begin{eqnarray*} \ker(\lambda 1_3-A) \end{eqnarray*}$ für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Diese zwei Matrizen sind aber unabhängig von a (schreibs dir mal auf, dann siehst du es), also sind die Eigenvektoren gleich.

16.07.2007, 13:55

meli05

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stimmt

da kürzt sich a immer weg smile

danke euch ;-)

kurze andre frage,

warum hat eine Transponierte Matrix immer die selben Ew wie die Ausgangsmatrix?

liegt das daran, dass sich die Diagonalelemente nicht verändern??

lgmeli

16.07.2007, 14:15

therisen

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Ja, das liegt in etwa daran. Genauer:

$\begin{eqnarray*} \chi_{A^t}=\det(A^t-\lambda E_n)=\det((A^t-\lambda E_n)^t)=\det(A-\lambda E_n)=\chi_A \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

16.07.2007, 15:13

Mazze

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Allgemeiner sind die Matrizen A und $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ sogar ähnlich und haben daher noch viele andere Dinge gemeinsam Augenzwinkern

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