Dgl, Fundamentalsystem, Wronski-Determinante

15.07.2007, 19:49

Zebra

Dgl, Fundamentalsystem, Wronski-Determinante

Hallo,
ich hätte mal eine Frage. Ich habe mir gerade die Aufgabe angeschaut:

Beweisen Sie für eine Dgl $\begin{eqnarray*} y'' = f(x) y' + g(x) y \qquad f,g \in C^0(I) \end{eqnarray*}$ :
Zwei linear unabhängige Lösungen haben keine gemeinsamen Nullstellen.
Umgekehrt sind zwei nichttriviale Lösungen $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_1(x_0) = 0, y_2(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in I \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Beim ersten Teil dachte ich mir:
Da $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig bilden sie ein Fundamentalsystem. D.h. die zugeh. Wronski-Matrix ist stets ungleich 0. Gäbe es nun ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_1(x_0)=y_2(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ , so wäre die erste Zeile der Wronski-Matrix = 0 und damit die Determinante = 0. Widerspruch.

Beim zweiten Teil kamen mir dann Zweifel. Die Wronski-Matrix ist ja hier eine 2x2-Matrix. Da kann es doch passieren, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} y_1(x) = y_1'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre die Wronski-Determinante doch auch 0. Oder kann das nicht auftreten? Falls nein, warum nicht?

Wie würdet ihr den 2. Teil beweisen? Bin mir da etwas unsicher.

15.07.2007, 21:19

Orakel

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RE: Dgl, Fundamentalsystem, Wronski-Determinante
der fall, dass ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} y_1(x_0)=y_1'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, kann tatsächlich nicht eintreten. um das zu sehen, betrachte das anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} y_1''(x)=f(x)y_1'(x)+g(x)y_1(x),\quad y_1(x_0)=y_1'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} y_1(x)\equiv 0 \end{eqnarray*}$ eine lösung dieses AWPs. wegen des existenz- und eindeutigkeitssatzes ist dies aber die einzige lösung. dies würde deiner annahme, dass $\begin{eqnarray*} y_1(x) \end{eqnarray*}$ eine nichttriviale lösung sein soll, widersprechen.

15.07.2007, 22:07

WebFritzi

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RE: Dgl, Fundamentalsystem, Wronski-Determinante

Zitat:

Original von Zebra
Wie würdet ihr den 2. Teil beweisen? Bin mir da etwas unsicher.

Na, der ist doch nun trivial. Was wäre denn, wenn y_1 und y_2 linear abhängig wären?

15.07.2007, 23:19

Zebra

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RE: Dgl, Fundamentalsystem, Wronski-Determinante
Vielen Dank für deine Erklärung, Orakel! Habe ich verstanden.

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Zebra
Wie würdet ihr den 2. Teil beweisen? Bin mir da etwas unsicher.

Na, der ist doch nun trivial. Was wäre denn, wenn y_1 und y_2 linear abhängig wären?

Ja, ok. Wäre y_1 ein Vielfaches von y_2, so hätte y_2 die selbe(n) Nullstelle(n) wie y_1.

Hach, da stand ich ja ganz schön auf der Leitung ...

15.07.2007, 23:37

WebFritzi

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Hach, naja, jetzt ja nicht mehr. Augenzwinkern

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