Laurent-Reihe

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Seb17 Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent-Reihe
Hallo, ich soll folgende Funktion in eine Laurent-Reihe entwickeln (um den Punkt 1):

Zitat:


Wäre folgende Reihe die Lösung? Bin mir nämlich absolut nicht sicher Augenzwinkern



Thx im Voraus!!!
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Reihe
Ja das stimmt, und den ersten Faktor kannst du auch noch in die Summe mit reinpacken:

Seb17 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für die Bestätigung, war mir eben unsicher Augenzwinkern

Den ersten Summanden habe ich extra draußen gelassen, um Haupt- und Nebenteil voneinander zu unterscheiden.

VG!
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso das? Es gibt keinen Nebenteil, alle Potenzreihenglieder gehören zu Hauptteil.
Seb17 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, wenn ich



setze, ergibt sich



woran ja zu sehen ist, dass der Nebenteil verschwindet und nur der Hauptteil existiert.

Richtig?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das geht so nicht. Daß kein Nebenteil existiert siehst du schon an meiner Formel. Die Umformung, die du dagegen gemacht hast, ist falsch. Das siehst du ja schon daran, daß in meinem Posting nicht alle negativen Potenzen von 1/(z-1) vorkommen, bei dir aber schon. Bei mir sind halt einige Koeffizienten 0, nach deiner Umformung nicht mehr, und das kann nicht sein. Bei Indexänderungen in Summen muß man schon ziemlich aufpassen. Wenn du in dem Ausdruck nach dem Summenzeichen einfach jedes 2n+1 durch k ersetzt, dann "vergisst" du ja quasi Summanden.

Einfachereres Beispiel:

Nach deiner Methode müßte bei dasselbe rauskommen, aber das ist einfach falsch.
 
 
Seb17 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast natürlich völlig recht, danke für die Korrektur Augenzwinkern

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die Reihe in deinem Posting deswegen der Hauptteil, weil nur negative Potenzen von 1/(1-z) auftreten (zwar nicht alle, aber diejenigen, die auftreten, sind negativ).
Korrekt?

Bitte, bitte ... Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

(Und so ganz nebenbei: Es treten zwar nicht alle, aber immerhin unendlich viele Glieder auf, und damit hat die Funktion in 1 eine wesentliche Singularität. Ab und zu kann man das eben auch mit Laurentreihen zeigen.)
Seb17 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folgerung hätte ich auch hinbekommen Augenzwinkern

Wenn man das Ganze nicht über Laurantreihen macht, kann man ja einen Pol über



und eine hebbare Singularität mit diesem RIEMANNschen Hebbarkeitssatz identifizieren; d.h. man kann ja zeigen, dass die Funktion holomorph fortsetzbar ist ...

Vielleicht weißt du noch Folgendes: Gibt's/Gilt die Regel von L 'Hospital im Komplexen? Bei uns im Skript steht da nämlich nix drüber und gerade in Sachen holomorphe Ergänzung bietet sich das ja oft an ... LG Augenzwinkern
piloan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Reihe
Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Ja das stimmt, und den ersten Faktor kannst du auch noch in die Summe mit reinpacken:



hi
nochmal eine Frage dazu.
Ist die Laurent-Reihe nicht die ganz normale Reihe, die den Sinus definiert und dann an der Stelle 1/(z-1)?
Bei Wikipedia faengt die Summe naemlich auch bei 0 an, jedoch bei (-1)^n .
DA muss ich ja irgendwas falsch machen Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

zu Seb17:
Nein, so ohne weitere Überlegungen gilt die Regel von l'Hospital erstmal nicht im komplexen. Weil um die zu beweisen brauchst du den Zwischenwertsatz, und der gilt lax gesagt nicht, weil du eine komplexe Funktion ja als Funktion R^2->R^2 auffassen kannst. Dann gilt zwar in jeder Komponente der Zwischenwertsatz, d.h. es existiert in jeder Komponente eine passende Zwischenstelle, aber die Zwischenstellen in den Komponenten müssen nicht unbedingt übereinstimmen.

Zu piloan: Ja, im Prinzip setzt du das einfach in die Reihenentwicklung vom Sinus ein, aber du hast ja die Ausgangsfunktion sin(1/(1-z)) gegeben, und nicht sin(1/(z-1)). Hier hilft dir aber sin(-z)=-sin(z) weiter, wodurch das zusätzliche Minus zustandekommt.
Seb17 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, danke, wünschte ich hätte deine Ahnung Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist Zufall, weil ich bald das Vergnügen einer mündlichen Diplomprüfung zur Funktionentheorie habe. In nem halben Jahr weiß ich nix mehr davon ^^
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, ging mir bei der Maßtheorie ebenso. Hatte das ziemlich gut drauf. Aber jetzt habe ich bemerkt, dass ich bei vielen Sachen wieder passen muss, ohne ein Buch.
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