Konvergenz von Reihen

16.07.2007, 11:54

marcel!

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich seit heute auch mit Reihen, bin aber noch nicht wirklich weit gekommen...
Worin besteht genau der Unterschied zwischen der Konvergenz von Folgen und der von Reihen?
Wie erkennt man, welches Kriterium anzuwenden ist?
Grüße Marcel

16.07.2007, 12:44

klarsoweit

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Da machen wir erstmal einen eigenen Thread raus.

Da eine Reihe letztlich auch eine Folge ist (nämlich die Folge der Partialsummen), gibt es bezüglich der Konvergenz keinen echten Unterschied. Für Reihen gibt es diverse Konvergenzkriterien. Und welches man da nimmt, ist letztlich Übung. Da es davon nur eine knappe Handvoll gibt, kann man sich da ohne weiteres auch einen Fehlversuch leisten. Augenzwinkern

16.07.2007, 13:09

marcel!

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Ok, hier eine Zusammenfassung derer, die ich können muss.

Monotonie u. Beschränktheit der Partialsummen
Leibniz f. altern. Reihen
Cauchy
Majoranten
Quotienten- u. Wurzelkrit. (jew. vereinfachte Formen)

Kennt jemand hierzu einige plausible Beispiele (notfalls einfach Link posten)?
Wann muss ich welches verwenden?
Das würde mir schon reichen. Danke!

16.07.2007, 13:19

klarsoweit

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Etwas seltener verwendet aber durchaus effektives Mittel ist das Verdichtungskriterium.

Ein paar Beispielaufgaben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Und ansonsten würde ich mal die Boardsuche nehmen.

16.07.2007, 14:20

marcel!

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Hey klarsoweit, danke für die Beispiele!

Zu deiner ersten Aufgabe nimmt man dann wohl das Leibnizkriterium wegen der alternierenden Reihe.
Aber wie wende ich es richtig an? Soweit ich weiß würde ich nun
$\begin{eqnarray*} (b_n) = (-1)^k (a_n) \end{eqnarray*}$ bilden und dann so begründen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Und eine allgemeine Frage: Für n! = Majoranten; für $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ = Cauchy und für $\begin{eqnarray*} k^n \end{eqnarray*}$ also immer das Quotienten-/Wurzelkrit. ?!

Vielen Dank!

16.07.2007, 14:37

kiste

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Zitat:

Original von marcel!
$\begin{eqnarray*} (b_n) = (-1)^k (a_n) \end{eqnarray*}$ bilden und dann so begründen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

a_n muss eine monotone Nullfolge sein!

Und so allgemein kann man nicht sagen welches Kriterium angewendet werden muss aber nach ein paar Beispielaufgaben siehst du welches zum Ziel führen könnte

16.07.2007, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von marcel!
Und eine allgemeine Frage: Für n! = Majoranten; für $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ = Cauchy und für $\begin{eqnarray*} k^n \end{eqnarray*}$ also immer das Quotienten-/Wurzelkrit. ?!

Ja, wenn es so schön wäre, dann könnte Mathematik ja jeder! smile

Wie kiste schon sagte, gibt es keine allgemeine Regel. Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ kann man Quotienten- oder Wurzelkriterium nehmen oder auch die Partialsumme $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^k~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ bilden und dann k gegen unendlich gehen lassen. Bei letzterem erhält man sogar noch den Reihenwert. Augenzwinkern

16.07.2007, 15:45

marcel!

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Habs mal selbst versucht, aufs richtige Erg. komme ich jedoch noch nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(2+(-1)^n)/2^n \end{eqnarray*}$

mit dem Wurzelkriterium erhalte ich

$\begin{eqnarray*} (/sqrt[n]{2} -1)/2 \end{eqnarray*}$

was 0/2 bedeuten würde, 1/2 aber als richtiges Erg. angegeben wird.

Wo ist mein Fehler? traurig

16.07.2007, 15:54

kiste

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Du denkst zu kompliziert. Hast du die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ so folgt die deiner Reihe mit dem Majorantenkriterium.

Keine Ahnung was du mit richtigem Ergebnis meinst, was für ein Ergebnis willst du den haben?

16.07.2007, 16:00

marcel!

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Das 1/2 wäre das richtige Ergebnis nach dem Wurzelkriterium, hoffe ich verwirre euch nicht auch noch ;-)

Naja, ich mach mich mal wieder ran, muss ja irgendwie klappen...

16.07.2007, 16:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von marcel!
Das 1/2 wäre das richtige Ergebnis nach dem Wurzelkriterium, hoffe ich verwirre euch nicht auch noch ;-)

Als Ergebnis für die Reihe? Was, wie man leicht sieht nicht stimmt, da der erste Summand schon 1/2 ist. Augenzwinkern

Beachte: mit dem Wurzelkriterium kann man den Reihenwert nicht bestimmen, sondern nur (wenn überhaupt) die Konvergenz nachweisen.

16.07.2007, 16:08

kiste

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Mhh deine Ausdrucksweise ist etwas komisch aber vllt. meinst du ja

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{2+(-1)^n}{2^n}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n}}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das das gilt kann man leicht durch die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2-1} \leq \sqrt[n]{2+(-1)^n} \leq \sqrt[n]{3} \end{eqnarray*}$ zeigen

16.07.2007, 16:22

marcel!

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Ja das ist mir klar, dass dies nicht der Grenzwert ist.

Ich habe die gleiche Rechnung wie Kiste, aber im Zähler hat man doch nun n-te Wurzel aus 2 und zieht davon 1 ab (?),was ja gleich null wäre

16.07.2007, 16:25

kiste

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a+b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$ also ziehst du keine 1 ab.

Und schau dir meine Abschätzung an, wenn du den limes bildest wird da nach unten und oben mit 1 abgeschätzt also muss der Grenzwert der Wurzel auch 1 sein

17.07.2007, 08:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von marcel!
Habs mal selbst versucht, aufs richtige Erg. komme ich jedoch noch nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(2+(-1)^n)/2^n \end{eqnarray*}$

War das jetzt eine selbst erdachte Aufgabe? Falls ja, würde ich erstmal vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac{2+(-1)^n}{2^n} = \frac{2}{2^n} + \frac{(-1)^n}{2^n} \end{eqnarray*}$
Von jedem Summanden existiert die Reihe und man kann sogar den Reihenwert angeben. Augenzwinkern

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