Division Rechenregel

16.07.2007, 14:36

xquadrat

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Division Rechenregel

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
a : b / c = ?
Wie ist hier zu rechnen? Wenn ich von links nach rechts vorgehe, bedeutet das (a : b) / c .
So würde ich vorgehen. Mir wurde aber gesagt, das sei falsch und man müsste dies so rechnen:
a : (b / c)
Das führt natürlich im Allgemeinen zu einem anderen Ergebnis.
Der Doppelpunkt und der Schrägstrich sind doch gleichwertig, oder nicht?
Ich denke, folgende Gleichung stimmt:
a : b / c = a : b : c = a / b / c
Oder liege ich daneben?

Gruß und danke schon mal.

16.07.2007, 14:44

kiste

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Hier wird durch die Verwendung eines Bruchstriches, mathematisch falsch, angenommen es geht um die Aufgabe a : (b/c).

Allgemein muss aber eine Klammer stehen da die Division nicht assozitativ ist! D.h. Terme wie a : b : c sind nicht richtig, also ist auch deine Gleichung falsch.

Naja du kannst dem Aufgabensteller sagen er soll doch seine Aufgabe mathematisch korrekt stellen Big Laugh

Big Laugh

16.07.2007, 14:59

xquadrat

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Hi, kiste,

vielen Dank!
Weißt Du, wo man so was nachlesen kann?
Ich denke, wenn keine Klammern gesetzt sind geht man eben von links nach rechts vor. Ist das nicht richtig?

Gruß xquadrat

16.07.2007, 15:29

kiste

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http://de.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz
Naja 5.-7. Klasse oder so keine Ahnung wann genau aber Klammern darf man nur weglassen wenn es eben assoziativ ist.

Eine Regel wie von links nach rechts ist mir nicht geläufig

16.07.2007, 16:37

Joefish

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Solang kein Punkt vor Strich oder Klammern in der Rechnung sind geht es von links nach rechts.
So wurde uns das zumindest immer wieder gesagt Big Laugh

Big Laugh

Aber ehrlich gesagt kannst du da auch von rechts anfangen...
Ist egal ob jetzt $\begin{eqnarray*} 5 + 9 - 3 = 14 - 3 = 11 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 5 + 9 - 3 = 5 + 6 = 11 \end{eqnarray*}$ macht.
Kommt ja das selbe raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.07.2007, 16:41

xquadrat

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Danke, kiste,

das Assoziativgesetz kenne ich natürlich. Das Dumme ist ja, dass es hier gerade nicht zutrifft. Und bei Wiki haben die auch nur Beispiele, bei denen das Assoziativgesetz erfüllt ist, sagen aber nicht wie es läuft, wenn es nicht erfüllt ist und keine Klammern gesetzt sind.
Ich weiß auch nicht wie ich belegen kann, dass der Ausdruck a / b / c nicht erlaubt ist.

Aber in jedem Fall vielen Dank nochmal
Gruß xquadrat

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16.07.2007, 17:40

xquadrat

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Hallo, Joefish,

mir geht es eher darum:
24 / 4 / 2 = 3 oder
24 / 4 / 2 = 12 ???
Setzt man Klammern ist es klar:
(24 / 4) / 2 = 3
24 / (4 / 2) = 12
Aber was ist richtig, wenn keine Klammern gesetzt werden?
Bzw. ist der Ausdruck mathematisch dann nicht gültig?

Ohne Klammern ist hier nicht egal, ob rechts oder links angefangen wird!

Kannst Du zu Deiner Aussage
"Solang kein Punkt vor Strich oder Klammern in der Rechnung sind geht es von links nach rechts"
eine Regel nennen? Oder einen Link geben, wo das bestätigt ist.
Ich hätte das jedenfalls auch so gesagt...

Danke und
Gruß xquadrat

16.07.2007, 19:32

Joefish

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Ich kann dir leider keinen Link oder ähnliches geben...
Üngültig ist der Ausdruck nicht, doch es ist lang her das ich sowas gesehen hab Big Laugh

Big Laugh

Ich persönlich würde es immer von links nach rechts rechnen.

Edit: Hab nochmal überlegt und man kann ja auch deine Beispieldivision als Bruch schreiben Big Laugh

Big Laugh

Also: $\begin{eqnarray*} a : b : c = \frac{a}{1} : \frac{b}{1} : \frac{c}{1} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{b\cdot c} \end{eqnarray*}$

Sprich: $\begin{eqnarray*} a:b:c \equiv \frac{a}{b\cdot c} \end{eqnarray*}$
Somit ist für mich bewiesen das die "links von rechts" Rechnerei richtig ist. smile

smile

Edit2: (Nochmal den Text verbessert)

16.07.2007, 19:47

Leopold

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Solange "Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich" seine Wirkung nicht entfaltet, rechnet man von links nach rechts.

$\begin{eqnarray*} 5-4+3-17-21 = (((5-4)+3)-17)-21 = -34 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8:4 \cdot 2 : 6 \cdot 15 = (((8:4) \cdot 2):6) \cdot 15 = 10 \end{eqnarray*}$

Gerade bei den Punktrechnungen ist das aber vielen nicht bewußt. Daher schaden Klammern nie. Also besser $\begin{eqnarray*} (8 : 6) \cdot 9 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 8:6 \cdot 9 \end{eqnarray*}$ schreiben.

17.07.2007, 09:25

xquadrat

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Hallo, Joefish,

vielen Dank für die Antwort. Der Gedanke, die Division so als Bruch zu schreiben ist echt gut!
Ich hätte auch von links nach rechts gerechnet, nur auf so einen Beweis bin ich nicht gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber einen Einwand habe ich (obwohl mir Deine Erläuterung gut gefällt):
Die Regel "von links nach rechts" verwendest Du "heimlich" beim zweiten Gleichheitszeichen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1} : \frac{b}{1} : \frac{c}{1} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

Würdest Du nämlich von rechts nach links rechnen, sähe es so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1} : \frac{b}{1} : \frac{c}{1} = \frac{a}{1} : \frac{b}{1} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{1} : \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{b} \end{eqnarray*}$

Aber trotzdem vielen Dank
Gruß xquadrat

17.07.2007, 09:35

xquadrat

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Hallo, Leopold,

vielen Dank. Ja, so habe ich das auch gesehen. Ich selber setze auch lieber ein Klammernpaar zu viel als zu wenig, damit die Ausdrücke klar verständlich sind. Aber wenn man so einen Ausdruck ohne Klammern vorgesetzt bekommt und dann noch gesagt bekommt, die Lösung sei falsch... unglücklich

unglücklich

Deswegen suche ich nach einer Definition, mathematischen Regel oder Beweis, wodurch das Rechnen von links nach rechts belegt wird.

Gruß xquadrat

17.07.2007, 10:37

xquadrat

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Hallo, allerseits,

ich habe noch etwas gesucht und gefunden zum Thema "rechnen von links nach rechts":

Eure Aussagen, dass von links nach rechts gerechnet wird (sofern keine Klammern vorhanden sind und bei nur einer Art von Rechenoperation) stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

und ist eine Grundregel (Definition, denke ich), die in der 5. Klasse gelehrt wird.
Soweit stimmten wir ja überein, es fehlte mir nur ein Beleg. Derer habe ich zwei gefunden:
http://www.ecole.ch/Mathematik%20ist%20unlogisch.pdf
und
http://kortenkamps.net/papers/2005/GDM05-Klammergebirge.pdf
(In beiden Dokumenten einfach nach "von links nach rechts" suchen)

Im ersten Link steht z.B.:
"Die höhere Rechenart wird zuerst ausgeführt. Bei Ausdrücken der gleichen Stufe ( + und - bzw. * und : ) wird von links nach rechts gerechnet."

Ok, damit ist auch klar, dass ein Ausdruck wie a / b / c nicht ungültig ist, sondern nur ungewohnt (und natürlich zu Gunsten einer besseren Klarheit geklammert werden sollte).

Damit ist für mich dieses Thema abgehakt (Es sei denn, jemand hat noch trifftige Einwände Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Allen die sich Gedanken gemacht haben, mir Gedankenanstöße gegeben haben und hier geantwortet haben noch mal ein herzliches Dankeschön!

Gruß xquadrat

17.07.2007, 11:42

Joefish

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Zitat:

Original von xquadrat
Aber einen Einwand habe ich (obwohl mir Deine Erläuterung gut gefällt):
Die Regel "von links nach rechts" verwendest Du "heimlich" beim zweiten Gleichheitszeichen: ...

Da hast du recht, Sieht man mal was man sich alles angewöhnen kann Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Joefish
Solang kein Punkt vor Strich oder Klammern in der Rechnung sind geht es von links nach rechts.
So wurde uns das zumindest immer wieder gesagt Big Laugh

Big Laugh

Aber ehrlich gesagt kannst du da auch von rechts anfangen...

Diese Aussage zieh ich mal still und heimlich zurück Augenzwinkern

Augenzwinkern

btw: Deine "rechts nach links"-Rechnung stimmt ned ganz.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1} : \frac{b}{1} : \frac{c}{1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{c}{a\cdot b} \neq \frac{a}{b\cdot c} \end{eqnarray*}$

Aber ist ja auch egal... stimmt sowieso ned Big Laugh

Big Laugh

17.07.2007, 12:11

Leopold

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Zitat:

Original von xquadrat
nur auf so einen Beweis bin ich nicht gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich finde den Begriff "Beweis" in diesem Zusammenhang nicht passend. Hier geht es um Konventionen. Diese sind grundsätzlich nicht beweisbar.

17.07.2007, 14:12

Airblader

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Noch eine Anmerkung. Für mich wäre es noch ein lesetechnischer Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} a : b/c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a : \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß jetzt nicht, wie die Aufgabe vorlag (mit Schrägstrich oder wirklich übereinander als "richtiger" Bruch geschrieben).

Im ersteren Fall würde die bisherige Diskussion einsetzen, im zweiteren Fall würde ich persönlich - was natürlich weder Richtigkeit noch Allgemeinheit bedeutet - den Bruch "vorziehen", da die Bruchstriche wie eine Art Klammer auf mich wirken würden. Es würde also $\begin{eqnarray*} a : \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$ für mich bedeuten.

Aber an sich ist wohl genug dazu gesagt, wie man es im Zweifelsfall verstehen sollte bzw. was man tut Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

17.07.2007, 18:43

Leopold

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$\begin{eqnarray*} a:b/c \end{eqnarray*}$ bedeutet dasselbe wie $\begin{eqnarray*} a:b:c \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (a:b):c \end{eqnarray*}$ . Dagegen ist $\begin{eqnarray*} a:\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$ etwas ganz anderes, nämlich $\begin{eqnarray*} a: (b:c) \end{eqnarray*}$ .

siehe auch diese Diskussion

17.07.2007, 22:47

xquadrat

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Hallo, Leopold,

entschuldige bitte meine unsaubere Ausdrucksweise. Ein Beweis ist es natürlich nicht.

Mit Deiner Erläuterung zu a : b / c hast Du Recht. Das ist ein wichtiger Punkt. Ein echter Bruchstrich kam in der Aufgabe nicht vor, sondern zuerst der Doppelpunkt und dann der Slash (/).
Diese Unterscheidung ist extrem wichtig. Meiner Meinung nach ist der Slash einfach nur als Division im selben Sinne wie der Doppelpunkt zu verstehen, es sei denn, man erklärt explizit wie es gemeint ist, wenn z.B. kein echter Bruch darstellbar ist. Selbst dann sollte man meiner Meinung nach die Verwendung von Klammern vorziehen.

Vielen Dank für Deine Beiträge.

xquadrat

17.07.2007, 22:52

xquadrat

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Hallo, Airblader,

ja, Du hast vollkommen Recht: Mit einem richtigen Bruchstrich fällt das Ergebnis anders aus, da der Bruchstrich tatsächlich auch "Klammerfunktion" hat.

Die Aufgabe war mit Slash, also nicht mit echtem Bruchstrich gestellt.

Danke und Gruß
xquadrat

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