Grenzwert im Mehrdimensionalen

16.07.2007, 17:49

Fletcher

Grenzwert im Mehrdimensionalen

Guten Tag,
wir haben heute eine Probeklausur bekommen, wo es darum geht die Grenzwerte im Mehrdimensionalen zu bestimmen, leider haben wir das nicht genau in der Vorlesung besprochen, darum stehe ich da etwas auf dem Schlauch, an und für sich läuft es ja sicherlich auf die Stetigkeit dieser Funktionen an der Stelle hinaus, hier mal die Aufgabenstellung:

Für welche der folgenden Funktionen $\begin{eqnarray*} f_i:\mathbb R^2 \backslash (0,0)\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ exisitiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f_i(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x,y) = (x^2+y^2)^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(x,y) = (x^2+y^2)^{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_4(x,y) = (x^2+y^2)^{x-1} \end{eqnarray*}$

Es geht doch darum Folgen die gegen 0,0 konvergieren einzusetzen und zu schauen ob ein Grenzwert rauskommt oder ob eben unendlich als Grenzwert hinaus kommt. Bei der 1. bekomme ich dann bspw. wenn ich 1/n für x und y einsetze den Grenzwert 1 heraus.
Bei der 2. bekomme ich nach Umformungen $\begin{eqnarray*} f(1/n,1/n)=\sqrt[n]{2/n^2} \end{eqnarray*}$ das konvergiert ebenfalls gegen 1. Bei den zwei letzten bin ich mir aber nicht mehr sicher! Kann mir da jemand helfen? Außerdem ist mir aufgefallen, dass man für bestimmte Folgen nicht unbedingt einen Grenzwert bekommt und eigentlich ist es ja dann so, dass die Funktion unstetig ist, falls man eine Folge findet die gegen den Punkt geht und der Grenzwert eben nicht exisitiert, oder wie muss ich das hier verstehen?

Danke euch

16.07.2007, 17:55

kiste

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Also wenn ich beim ersten 1/n einsetze bekomme ich unendlich, beachte das n gegen unendlich läuft nicht gegen 0!

Ansonsten ist es nie eine schlechte Idee betragsmässig abzuschätzen oder Polarkoordinaten einzuführen.

16.07.2007, 17:56

therisen

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Hallo,

du machst es dir etwas zu einfach. Es gilt:

Der Grenzwert existiert nicht, falls du ein (es genügt ein einziges!) Paar von Nullfolgen findest, sodass der Grenzwert nicht existiert.

Der Grenzwert existiert dann und nur dann, wenn er für alle Nullfolgen existiert (Folgenkriterium für Stetigkeit).

Gruß, therisen

16.07.2007, 19:42

Fletcher

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@therisen

Danke für die Info, so wollte ich mich auch ausdrücken, weil genau da hänge ich gerade, bei der 2. würde ich sagen, dass sie wirklich einen grenzwert hat, aber wie mache ich das denn mit polarkoordinaten?

@kiste,

Yep, hast Recht. Da war ich etwas zu voreilig.

18.07.2007, 16:49

Fletcher

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Keiner mehr eine Idee,

bei der 2. Aufgabe ist mir eingefallen, dass man es als Exponentialfunktion schreiben könnte, dann interessiert nur noch der Exponent, also x*ln(x^2+y^2) und der geht für x gegen Null auf jeden Fall gegen 1, mit LHospital usw., was sagt ihr dazu? Mir ist nur noch nicht ganz klar, wie ich das y wegbekomme.

18.07.2007, 18:35

therisen

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Hallo,

grob kann man wie folgt argumentieren:

Es ist $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=\|(x,y)-(0,0)\|_2^2 \stackrel{!}{<}\delta^2 \end{eqnarray*}$ (euklidische Norm).

$\begin{eqnarray*} x\ln(x^2+y^2) < x\ln(\delta^2)=2x\ln\delta \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \delta\searrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} 2x\searrow 0 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} \boxed{\lim_{z\searrow 0} z\ln z =0 } \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}x\ln(x^2+y^2) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

18.07.2007, 21:30

Dual Space

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Zitat:

Original von therisen
Mit $\begin{eqnarray*} \delta\searrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} 2x\searrow 0 \end{eqnarray*}$

Das Argument verstehe ich noch nicht. verwirrt

PS. Uiuiui ... jetzt wird schon mit \boxed gearbeitet. Irgendwann brauchen wir nur noch ausgewählte Threads ausdrucken und binden lassen. Big Laugh

18.07.2007, 21:38

therisen

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Die Paare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq\delta^2 \end{eqnarray*}$ erfüllen, beschreiben die abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ . Je kleiner $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wird, desto "weniger" Punkte erfüllen diese Ungleichung, d.h. der Flächeninhalt der Kreisscheibe wird immer kleiner und strebt gegen Null (dann besteht die "Kreisscheibe" nur noch aus einem einzigen Punkt, nämlich dem Ursprung).

18.07.2007, 21:46

Dual Space

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Jaja ... man sollte sich doch hin und wieder den Unterschied von "hinreichend" und "notwendig" vor Augen halten. Forum Kloppe

Habs jetzt gefressen, danke! Augenzwinkern

Edit: Normalerweise sind nach 4 Bier alle Frauen schön und Theoreme wahr, aber .... Prost

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