Nullfolge

08.02.2005, 22:04

gast

Nullfolge

hallo zusammen,
wie kann ich beweisen, dass die Folge
$\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{ln k}{k} \end{eqnarray*}$ k $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
eine Nullfolge ist??

mfg,
Thomas

08.02.2005, 22:16

Seimon

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RE: Nullfolge
kennst du die Regel von L'Hospital ?

08.02.2005, 22:26

gast

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ach so..
meinst du: ich soll einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
____
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln k} \end{eqnarray*}$

??

08.02.2005, 22:32

Jochen

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http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...age/aussage176/

Kennst Du das?

08.02.2005, 22:33

Seimon

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nein!

du willst ja zeigen: $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{ln(k)}{k}=0 \end{eqnarray*}$

für k--> unendlich gehen sowohl Zähler als auch Nenner gegen unendlich!

also kannst du das verwenden: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...age/aussage176/

klar?

Zitat:

Original von Jochen
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...age/aussage176/

Kennst Du das?

muaha wie geil Big Laugh

genau derselbe LINK!

auch danach gegoogelt?? Big Laugh

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte bneutze die edit-Funktion (MSS)

08.02.2005, 22:38

gast

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ok
alles klar
danke dir
Freude

08.02.2005, 22:53

Mathespezialschüler

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Aber der "Beweis" dort ist nicht sehr toll.
Es wird nur der Fall f(a)=g(a)=0 betrachtet. Außerdem sind die Voraussetzung sehr schwach. Sie setzen voraus, dass f und g sogar stetig diff'bar sind. Sie setzen bei "Polstelle" auch voraus, dass f eine Polstelle hat, obwohl man das gar nicht muss.
Außerdem wird nicht gesagt, wo f und g diff'bar sein müssen, sie müssen es ja nur in einer kleinen Umgebung von a sein.

08.02.2005, 23:00

Seimon

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Es wird nur der Fall f(a)=g(a)=0 betrachtet.

Warum?

Zitat:

...eine gemeinsame Nullstelle oder Polstelle...

08.02.2005, 23:03

Mathespezialschüler

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Ja, das steht in der Annahme. Aber im "Beweis" beweisen sie da nur den Fall f(a)=g(a)=0.

08.02.2005, 23:26

iammrvip

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Der Fall " $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ "

Satz: Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ seien in $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetig, in $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ differenzierbar, und es gelte $\begin{eqnarray*} f(a) = g(a) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ . Existiert der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ ,
so existiert auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ , und es gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Aus der Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt zunächst, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \neq g(a) = 0 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in (a,b] \end{eqnarray*}$ (andersfalls hätte der Satz von ROLLE $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle).
Es sei nun $\begin{eqnarray*} \{x_n\} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit $\begin{eqnarray*} a < x_n \leq b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_n \to a \end{eqnarray*}$ . In den Intervallen $\begin{eqnarray*} [a,x_n] \end{eqnarray*}$ betrachten wir die Funktionen
$\begin{eqnarray*} \varphi_n(t) = f(t) - \frac{f(x_n)}{g(x_n)}\cdot g(t) \end{eqnarray*}$ .
Es gilt
$\begin{eqnarray*} \varphi_n(a) = f(a) - \frac{f(x_n)}{g(x_n)}\cdot g(a) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi_n(x_n) = f(x_n) - \frac{f(x_n)}{g(x_n)}\cdot g(x_n) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Nach dem Satz von ROLLE gibt es daher ein $\begin{eqnarray*} \xi_n \in (a,x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi_n'(\xi_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , bzw.
$\begin{eqnarray*} f'(\xi_n) - \frac{f(x_n)}{g(x_n)}\cdot g'(\xi_n) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Hieraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} a < \xi_n < x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \{\xi_n\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so dass sich ergibt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ .
Hieraus folgt die Behauptung.

Bemerkung: Eine entsprechender Satz gilt unter den Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Aus der Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ folgt dann die Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ und die Gültigkeit von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ .

(vgl. Mathematik für Naturwissenschaftler I, Wolgang Luth - erschienen in AULA-Verlag Wiesbaden; der Text wurde behutsam von mir der neuen Rechtschreibung angepasst)

09.02.2005, 00:13

Mathespezialschüler

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Erstmal können $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ gar nicht existieren, weil nach Voraussetzung f und g links von a gar nicht definiert sind bzw. zumindest dort nicht stetig, geschweige denn diff'bar sein müssen. Wahrscheinlich sind hier $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ gemeint.
Desweiteren muss man keine Stetigkeit auf [a,b] voraussetzen, es kann ja sein, dass f und g in a nichtmal definiert sind, sondern dass einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a} f(x)=\lim_{x\searrow a} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Sind f und g in a und b allerdings definiert, so muss man trotzdem immer noch keine Stetigkeit voraussetzen (!!!), und zwar kann man sie in beiden Punkten weglassen. Auch dann bleibt der Satz richtig. Allerdings würde dadurch der Beweis eine Idee länger (nicht der Rede wert). So wie der Beweis hier geführt ist, braucht man die Stetigkeit aber schon, zumindest im Punkt a, die in b ist überflüssig. Es liegt also hier an der Beweisführung, dass man die Stetigkeit in a voraussetzt (voraussetzen muss).

Der große Teil, der bei dir nämlich mit dem Satz von Rolle gemacht wurde, also bis

Zitat:

Original von iammrvip
Hieraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ .

, der wurde bei dem anderen Beweis in einer Zeile mit dem verallgmeinerten MWS der Differentialrechnung abgehandelt. Und da der verallgmeinerte MWS der Differentialrechnung mit dem Satz von Rolle bewiesen wird, sind die beiden Methoden grundsätzlich gleich.

Zitat:

Original von iammrvip
Wegen $\begin{eqnarray*} a < \xi_n < x \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \{\xi_n\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so dass sich ergibt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ .

Hier hast du dich wohl verschrieben, du wolltest höchstwahrscheinlich

Wegen $\begin{eqnarray*} a < \xi_n < x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \{\xi_n\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so dass sich ergibt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ .

schreiben.

smile

09.02.2005, 00:21

iammrvip

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oh....matsch...ich wusste doch, dass ich mich irgendwo verschreibe, so viel text zum abend Big Laugh

...hab's verbessert Freude

.

/edit: hab aus dem x noch das n gemacht Augenzwinkern

09.02.2005, 00:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
(andersfalls hätte der Satz von ROLLE $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle).

Hört sich grammatikalisch auch nicht grad schön an Augenzwinkern

Ich hatte extra noch die ganze Zeile in das Zitat genommen, um auch den anschließenden latex-Code zu verbessern. Es muss nämlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} \end{eqnarray*}$ heißen, also n gegen unendlich.
Achja und wenn du möchtest (ich fände es gut), könntest du auch noch die ganzen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a} \end{eqnarray*}$ einfügen smile

09.02.2005, 00:34

iammrvip

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hab ich auch verbessert, siehe vorheriger Beitrag Augenzwinkern

. Klappt das mit dem Zitat dann noch verwirrt

09.02.2005, 01:11

MisterSeaman

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Betrachte die Folge alternativ nur für die Glieder $\begin{eqnarray*} k =10^m, m=1,2,3... \end{eqnarray*}$ ,

Du erhältst die Folge $\begin{eqnarray*} b_m = \frac{m}{10^m} \end{eqnarray*}$ Diese bildet offensichtlich eine Nullfolge. Für a_k gilt dann $\begin{eqnarray*} a_{10^m} = b_m \end{eqnarray*}$ . Außerdem gibt es ein K so, dass die Folge a_k für k > K wegen $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\log(k+1) k}{\log(k) (k+1)} = \frac{\log((k+1)^k)}{\log{k^{k+1}}} < 1 \end{eqnarray*}$ (k > K) streng monoton fallend ist.

Beides zusammen ergibt: a_k bildet eine Nullfolge.

09.02.2005, 01:15

Seimon

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eher $\begin{eqnarray*} k =e^m, m=1,2,3... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_m = \frac{m}{e^m} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

09.02.2005, 01:18

MisterSeaman

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Ähm, ja.

Naja, oder eher so ungefähr, e^m ist ja keine natürliche Zahl... Das soll aber nicht weiter stören.

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Nullfolge

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