Matritzen: Indexgleichung

08.02.2005, 22:06	Helmut1973	Auf diesen Beitrag antworten »
Matritzen: Indexgleichung Ola, sitzen hier und grübeln mal wieder :-) Es gelte die Einsteinsche Summationskonvention: Matritzen: A(index:ij)="Kronnecker-Symbol"(index:ij) - i +2(index:j); B(index:alphai)=alpha+i+1; C(index:alphabeta)=alpha-beta+2; a(index:i)=-i+3; x(index:ihoch0)=2i Indexgleichung: h=2a(index:i)x(index:i)-0,5B(index:alphai)x(index:i)B(index:alphaj)x(index:j)- 3C(index:betaalpha)C(index:alphagamma)b(index:gammaj)B(index:betai)x(index :j)x(index:i)+A(index:ji)A(index:jk)a(index:k)a(index:i)-4; alpha=1..2; i=1..2 Wir sollen Matritzen erstellen und h vereinfachen. Die ganze aufgabe habe ich als gif drangehangen. Bitte helft uns... Gaby und Helmut
09.02.2005, 10:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsteinsche Summenkonvention vs. Matrizen/Vektoren Fangen wir an mit etwas LaTeX-Kunde - ihr müsst auf "Zitate" drücken, um zu sehen wie die folgenden Formeln gesetzt werden: $\begin{eqnarray} A_{ij}=\delta_{ij}-i+2j;\quad B_{\alpha i}=\alpha+i+1;\quad C_{\alpha\beta}=\alpha-\beta+2;\quad a_{i}=-i+3; x_{i}^{0}=2i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=2a_{i}x_{i}-0.5B_{\alpha i}x_{i}B_{\alpha j}x_{j}-3C_{\beta\alpha}C_{\alpha\gamma}b_{\gamma j}B_{\beta i}x_{j}x_{i}+A_{ji}A_{jk}a_{k}a_{i}-4 \end{eqnarray}$ Jetzt zu dieser Einsteinschen Summenkonvention. Wenn ich mich richtig erinnere, bedeutet das, dass ein Produkt über alle Indizes zu summieren ist, die im Produkt doppelt vorkommen (mehr als doppelt ist verboten und muss, falls doch nötig, irgendwie mit Kronecker-Symbol formuliert werden). Die Summation erfolgt dabei von 1 bis d (= Raumdimension, also meistens 2 oder 3, aber durchaus auch höher - Relativitätstheorie und so ein Kram). Also steht etwa der Summand $\begin{eqnarray} C_{\beta\alpha}C_{\alpha\gamma}b_{\gamma j}B_{\beta i}x_{j}x_{i} \end{eqnarray}$ im obigen Ausdruck eigentlich für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^d \sum\limits_{j=1}^d \sum\limits_{\alpha=1}^d \sum\limits_{\beta=1}^d \sum\limits_{\gamma=1}^d C_{\beta\alpha}C_{\alpha\gamma}b_{\gamma j}B_{\beta i}x_{j}x_{i} \end{eqnarray}$ in "normaler" Schreibweise. Wie kann man das nun mit Matrizen und Vektoren schreiben? Nun, seien etwa $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1d}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2d}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{d1} & A_{d2} & \cdots & A_{dd}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1d}\\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2d}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{d1} & B_{d2} & \cdots & B_{dd}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Vektor- und Matrix-Schreibweisen. Jetzt folgen mal einige Beispiele der Übersetzung von Einsteinscher Summenkonvention (links des Gleichheitszeichens) in normale Schreibweise (rehcts des Gleichheitszeichens): $\begin{eqnarray} x_{i}y_{i} = x\cdot y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{i}A_{ij}y_{j} = x^T\cdot A\cdot y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{i}A_{ji}y_{j} = x^T\cdot A^T\cdot y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{i}A_{ij}B_{jk}y_{k} = x^T\cdot A\cdot B\cdot y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{i}y_{k}A_{ij}B_{kj} = x^T\cdot A\cdot B^T\cdot y \end{eqnarray}$ Das soll für's erste genügen - da kommen jetzt bestimmt noch ein paar Fragen. EDIT: Um dem ästhetischen Empfinden gewisser Forumteilnehmer ( ) gerecht zu werden, habe ich mal noch die ... in den Vektoren und Matrizen angepasst.
02.08.2007, 04:44	Willy P.	Auf diesen Beitrag antworten »
Indexgleichung Das ist jetzt aber nicht die endgültige Lösung, hab ich mal so das Gefühl!
02.08.2007, 10:40	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein für eine "endgültige" Lösung sollte man schon auch was rechnen . Lösungen gibt es hier aber auch nicht. Arthur wollte nur zeigen das man das ganze auch lesbar aufschreiben kann und einen Tipp gegeben wie man es in "Matrixschreibweise" schreiben kann. Vereinfachen wie z.B. die Matrix diagonalisieren oder so muss man immer noch

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