Hermitesche Polynome

17.07.2007, 08:23	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
Hermitesche Polynome hallo ich habe eine aufgabe zu hermiteschen polynomen, und ich komme einfach nicht weiter: Sei V der Vektorraum alle komplexen Polynome in einer Variablen, das Skalarprodukt sei definiert als $\begin{eqnarray} (u,v) = \int_{-\infty}^{+\infty}~\overline u(x) v(x) e^{-x^2/2}~dx \end{eqnarray}$ . so jetzt ist ein operator gegeben: $\begin{eqnarray} L(u) = -u_{xx} + x u_x \end{eqnarray}$ wobei u_x die ableitung des polynoms u ist. wie zeigt man, dass L selbstadjungiert ist? (mit selbstadjungiert definiert als (L(u),v) = (u,L(v)) wenn ich es direkt über die definition versuche, also das abgeleitete polynom ins integral einsetze, hab ich ein integral, das ich nicht lösen kann und wo ich keine regel sehe, nach der ich eine gleichheit zeigen könnte.
17.07.2007, 16:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, daß jede Seite der zu beweisenden Gleichung den Wert $\begin{eqnarray} \int \limits_{-\infty}^{\infty}~\overline{u_x(x)} \, v_x(x) \operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ hat. Stichwort: partielle Integration mittels $\begin{eqnarray} \int~x \operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}~\mathrm{d}x = - \operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$

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