in TAYLORREIHE entwickeln

09.02.2005, 00:25

laarisha

in TAYLORREIHE entwickeln

Ich brauch mal wieder Hilfe...

Folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} f(z)=(\frac{2z}{z-3})^{2} \end{eqnarray*}$ (mit z aus C)

soll in eine Taylorreihe, die in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0=-3 \end{eqnarray*}$ konvergiert, entwickelt werden. Außerdem gesucht ist das Konvergenzgebiet.

Ich hab nicht mal ne Idee für nen Ansatz - Hilfe bitte!!!

09.02.2005, 01:03

JochenX

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hmm, von konvergenzgebiet habe ich noch nichts gehört, aber ich vermute, du sollst einfach ein taylorpolynom mit entwicklungspunkt -3 aufstellen.
wo ist das problem genau?

09.02.2005, 09:50

Mazze

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Im reellen betrachtet man Konvergenzradien von taylorpolynomen, das sind jene Intervalle in denen die Reihe gegen die Urpsrungsfunktion konvergiert. Ich denke normale Reihenansätze könnten schon reichen. Ich denke von Gebiet wird hier gesprochen da im allgemeinen der Konvergenzbereich eine Fläche in der Gaußschen Zahlenebene bildet.

Wie sieht denn das Taylorpolynom, bzw. die Taylorreihe aus? Wenn Du das weißt hast Du den ersten Schritt schon. Danach untersuchst Du die entstandene Reihe auf konvergenz.

09.02.2005, 10:57

laarisha

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Also Konvergenzgebiet meint wohl tatsächlich Konvergenzradius.

Und die Taylorreihe?? Ich glaub die schaut so aus, oder?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{z_0}{k!} (z-z_0)^k \end{eqnarray*}$

Nur hilft mir das, wenns überhaupt stimmt, leider gar nicht weiter... traurig

09.02.2005, 11:01

JochenX

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Zitat:

Original von laarisha
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{z_0}{k!} (z-z_0)^k \end{eqnarray*}$

nein, eine kleine schönheitsOP ist da noch von nöten:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} f^{(k)} \end{eqnarray*}$ , die k-te ableitung von f ist, und $\begin{eqnarray*} f^{(0)}=f \end{eqnarray*}$ .

mfg jochen

edit1: [/latex] vergessen
edit2: [/latex] falsch gesetzt Augenzwinkern

09.02.2005, 11:13

laarisha

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OK, danke! Aber was mach ich jetzt damit?

09.02.2005, 11:19

JochenX

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um die taylorreihe aufzustellen: ausrechnen (sprich: ableiten) und einsetzen (die ersten paar glieder, je mehr desto genauer)
die ableitung ist natürlich übel (ketten/quotientenregel).....

mfg jochen

09.02.2005, 11:42

Leopold

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Die Aufgabe sieht mir wegen der Bezeichnungen ganz nach komplexer Analysis aus. Dann kann die Aufgabe je nach Vorkenntnissen von laarisha auch ganz anders angepackt werden, nämlich durch Rückgriff auf die bekannte geometrische Reihe. Da die Funktion in der ganzen in 3 gelochten Gaußschen Zahlenebene holomorph ist, konvergiert die Taylorreihe um $\begin{eqnarray*} z_0=-3 \end{eqnarray*}$ in der größten offenen Kreisscheibe um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , die 3 nicht enthält. Der Konvergenzradius muß daher 6 sein. Das kann man ohne jede Rechnung von vorneherein sagen.

09.02.2005, 15:01

laarisha

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Konvergenzradius=6 leuchtet mir ein. Aber wie funktioniert das mit der geometrischen Reihe? Die lautet doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ z^k=\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

Einfach "nur" umformen?
Das ist echt *** .....

09.02.2005, 15:17

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left( \frac{2z}{z-3} \right)^2 = \frac{1}{9} \cdot \frac{(z+3)^2 -6(z+3)+9}{ \left( 1-\frac{z+3}{6} \right)^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt betrachte die Funktion (geometrische Reihe)

$\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{1}{1 - \frac{z+3}{6}} \end{eqnarray*}$

und differenziere sie. Damit bekommst du den Nenner der Ausgangsfunktion in den Griff. Die $\begin{eqnarray*} (z+3) \end{eqnarray*}$ -Potenzen im Zähler kannst du dann in die Reihenentwicklung hineinmultiplizieren.

Und hier noch zur Kontrolle das Endergebnis:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{2z}{z-3} \right)^2 = 1 + \sum_{\nu \geq 1}^{}~\frac{\nu-3}{6^{\nu}}(z+3)^{\nu} \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 20:49

laarisha

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Danke. Habt mir sehr geholfen.

Werd mich dann mal an meinen nächsten Übungen vergehen und hoffen dass ichs übertragen kann...

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