Verständnissprobleme mit dem chpol |
| 09.02.2005, 03:09 | Apley | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Verständnissprobleme mit dem chpol folgende Matrix ist gegeben. Hier soll man schauen ob sie Diagonalisierbar ist. Falls ja soll man noch die die Eigenwerte, Eigenräume und P-1 * A * P = D ausrechnen. A = Also habe ich chpol = x*E - A Jetzt habe ich hier die EW ( (x+1) * (x-1)² ) = -1, 1, 1. Also nach meinem Verständniss ist die Matrix nicht Diagonalisierbar, weil einige EW gleich sind. Jedoch wenn ich die ER berechne und aus den Basen P bilde, ist sie ja doch Diagonlisierbar, weil ich ja D, P und P-1 gefunden habe. D = P = P-1 = Und nun???? Ist sie Diagonalisierbar oder nicht? Jetzt habe ich festgestellt das ich irgendwo ein Fehler gemacht habe, den wenn ich P-1 * A * P = D rechne, dann kommt nicht das D was ich habe. Jetzt bin ich wirklich total ratlos, denn ich hab die Aufgabe mind. 3x durchgerechnet und immer dieselben EW kommen raus. 
Und dazu habe ich noch eine allgemeine Frage: wieso muss man falls (x-1) herauskommt, als EW +1 nehmen ? Ich hoffe Ihr könnt mir helfen, und mir sagen wo ich einen Fehler habe. Gruß Apley |
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| 09.02.2005, 08:54 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten Sei A eine (n x n)-Matrix. Zu jedem EW (Eigenwert) gibt es einen EV (Eigenvektor), die EV zu verschiedenen EW sind linear unabhängig. Somit gibt es bei n verschiedenen EW auch n linear unabhängige EV, die Matrix A ist diagonalisierbar. Das heißt jetzt aber nicht, dass beim Auftreten von EW mit einer algebraischen Vielfachheit >1 die Matrix zwingend nicht diagonalisierbar ist. Falls nämlich zu jedem EW der zugehörige Eigenraum (d.h. der von den zugehörigen EV aufgespannte Teilraum des R^n) dieselbe Dimension hat wie die algebraische Vielfachheit dieses EW, dann ist A trotzdem diagonalisierbar. Diese Eigenraumdimension nennt sich auch geometrische Vielfachheit. Bei deinem Beispiel läuft das darauf hinaus, dass du überprüfen musst, ob es zum EW 1 zwei linear unabhängige EV gibt. Das erreichst du durch vollständige Lösung des GLS (Gleichbedeutend damit ist, dass die Koeffizientenmatrix dieses EV-GLS den Rang 1 hat, aber das nur nebenbei.) Gibt es dagegen nur eine linear unabhängige Lösung (also Rang 2 der Matrix), dann ist A nicht diagonalisierbar. EDIT:
Dann musst du eben ein viertes Mal rechnen, denn die EW sind nicht (1,1,-1), sondern (1,-1,-1) !!! Die EV's scheinen aber zu stimmen, also lass dein P und P^{-1} und versuch die Probe mit |
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| 09.02.2005, 17:35 | Apley | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, jetzt alles Schritt für Schritt.... ich bekomme immer dieslbe EW raus. Aus der Matrix A = entsteht nach der "Umformung" folgende Matrix __x + 5____-6______6 ____8____x - 11____12 ____4____ -6 ____ x + 7 jetzt wird die die 3 Spalte zu der 2-ten addiert. Dann haben wir __x + 5____0______6 ____8____x +1____12 ____4____ x+1 ____ x + 7 Jetzt multipliziere ich die 2 Zeile *( -1) und addiere sie zu der 3 Zeile. Dann haben wir __x + 5____0______6 ____8____x+1____12 ____-4____ 0 ____ x -5 Jetzt kann ich die (x+1) * det ( x+5___ 6 __________________________-4____ x-5 ) berechnen. Da kommt raus =(x+1) * ((x+5) * (x-5) - (6 * -4)) =(x+1) * (x²-5x+5x-25) + 24 -->hier müsste man die PQ formel anwenden, muss man aber nicht weil sich die Gleichung von selbst auflöst. =(x+1) * (x²-1) =(x+1) * (x-1)² Dadurch habe ich die EW -1, 1, 1 Und nun? Wo ist mein Fehler. Denn ich seh keinen. Und du hast recht, die EW sind -1, -1, 1 . Habe ein kleines Programm (WIMAT) womit man das ausrechnen kann. Aber ich komm einfach nicht drauf. Gruß Apley |
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| 09.02.2005, 22:21 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
rechenfehler in der quasi letzten Zeile der Rechnung 
(x+1) (x²-1) =(x+1) (x+1)(x-1) = (x+1)²(x-1) Eigenwerte -1, -1, 1 |
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| 09.02.2005, 22:52 | Apley | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahhhh.... ich bin so ein blöde Nuss 
Danke für das finden des Fehlers Apley |
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