Problem bei voll. Induktion

09.02.2005, 11:31

spike78

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Problem bei voll. Induktion

Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Ich hoffe jemand kann mich auf den Weg führen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Aufgabe:

1² + 3³ + (2n-1)² = n(2n-1) * (2n+1)
------------------------
3

ok. soweit bin ich bís jetzt.

1² + 3³ + (2n-1)² + (2n+1)² = n+1(2n+1) * (2n+3)
--------------------------
3

1² + 3³ + (2n-1)² + (2n+1)² = n(2n-1) * (2n+1)
------------------------ + (2n+1)²
3

.........................................= n(2n-1) * (2n+1) + 3 (2n+1)²
---------------------------------------------
3

so nun habe ich schon viel hin und her gerechnet, komme aber einfach nicht auf den richtigen Weg..

Gruß

09.02.2005, 11:50

kurellajunior

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RE: Problem bei voll. Induktion
Hallo,

Ohne Formeleditor nur schwer verständlich:

Hier die erste Zeile wie ich sie lese: (durch Zitat mal angucken Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
$\begin{eqnarray*} 1^2 + 3^3 + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1) \cdot (2n+1)}{3} \end{eqnarray*}$

leerzeichen werden nämlich gelöscht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

mach mal den Rest und dann sehen wir weiter.

09.02.2005, 12:08

spike78

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RE: Problem bei voll. Induktion
ok sorry. nun soweit bin ich gekommen.

1.
$\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² + (2n+1)² = \frac{(n+1)*(2n+1)*(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² + (2n+1)² = \frac{n(2n-1) * (2n+1) +3(2n+1)²}{3} \end{eqnarray*}$

Gruß

09.02.2005, 12:12

JochenX

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das ist fein, was ist denn deine aufgabe? das jeweils mit induktion zeigen?
bist du sicher, dass da jeweils (bei 1 und 2) links das gleiche stehen soll?
oder soll das schon der induktionsschritt sein?!
was genau sollst du zeigen? bite von vorne!

mfg jochen

09.02.2005, 12:17

kurellajunior

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RE: Problem bei voll. Induktion
Und wie lautet die Induktionsbehauptung?

09.02.2005, 12:40

spike78

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RE: Problem bei voll. Induktion
Hi,

genauso wie du sie in der ersten Antwort hingeschrieben hast

cu

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09.02.2005, 12:46

kurellajunior

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RE: Problem bei voll. Induktion
ööhm, nö.
Das ist nicht das, was ich suche. Das wäre vieleicht der erste Schritt.

Beweist Du so etwas wie eine rekursive Folgenvorschrift? dann gib doch mal die Schritte davor (muss ich mir nicht alles ausdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Also Behauptung (Formel) Induktionsafang und dann gehts los.
Ich kann nämlich Deinen Schritten nicht folgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jan

09.02.2005, 13:34

spike78

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RE: Problem bei voll. Induktion
hi,

ok dann mal los.

Induktionsvoraussetzung:

$\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² = \frac{n(2n-1) * (2n+1) }{3} \end{eqnarray*}$

nun ist das zu Beweisen, dass dies auch für n+1 gilt.

Also
Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² + (2n+1)²= \frac{n+1(2n+1) * (2n+3) }{3} \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² + (2n+1)²=(1² + 3 ² +.... +(2n-1)²) +(2n+1)² = \frac{n(2n-1) * (2n+1) }{3} +(2n+1)² = \frac{n(2n-1) * (2n+1) }{3} + \frac{3(2n+1)²}{3} \end{eqnarray*}$
[/latex]

so bis dahin komm ich noch ... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{n(2n-1) * (2n+1) }{3} + \frac{3(2n+1)²}{3} =\frac{n(2n-1) * (2n+1) + 3(2n+1)²}{3} \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 13:44

n!

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multipliziere den letzten Term doch mal aus.Das sollte so weit ich sehe der rechten Seite deines Induktionsschrittes entsprechen.

09.02.2005, 13:56

spike78

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dann bekomm ich folgendes :

$\begin{eqnarray*} \frac{n(2n-1) * (2n+1) +(6n+3)²}{3} = \frac{n(2n-1) * (2n+1) +((6n+3)*(6n+3))}{3} = \frac{n(2n-1) * (2n+1) +(36n² +36n +9)}{3}= \frac{n(2n-1) * (36n² +38n + 10)}{3} \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 14:01

n!

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mit deiner Binomischen Formel stimmt was nicht.Schreibe sie mal aus:

$\begin{eqnarray*} 3(2n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Das ist beim besten Willen alles andere als irgendwas mit 36. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.02.2005, 14:09

spike78

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oh ja. Das schaut dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(2n-1) * (2n+1) +3((2n+1)*(2n+1))}{3}= \frac{n(2n-1) * (2n+1) +3(4n²+4n+1)}{3}= \frac{n(2n-1) * (2n+1) +12n²+12n+3}{3}=\frac{n(2n-1) * 12n²+14n+4}{3}= \end{eqnarray*}$

weiter seh ich aber nix

09.02.2005, 14:15

n!

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Du kannst nicht einfach das ausmultiplizierte mit $\begin{eqnarray*} (2n+1) \end{eqnarray*}$ addieren.Du musst $\begin{eqnarray*} n(2n-1)(2n+1) \end{eqnarray*}$ für sich ausmultiplizeren und das dann mit $\begin{eqnarray*} 12n^{2}+12n+3 \end{eqnarray*}$ addieren

09.02.2005, 14:23

kurellajunior

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Anmerkung
Anmerkung zur Form unabhängig von der Rechnung:

Zitat:

Original von spike78
Also Induktionsschluss:
$\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² + (2n+1)²= \frac{n+1(2n+1) * (2n+3) }{3} \end{eqnarray*}$

Das muss heißen:
$\begin{eqnarray*} 1² + 3 ² +.... +(2n-1)² + (2n+1)²= \frac{(n+1)(2n+1) * (2n+3) }{3} \end{eqnarray*}$
Die Klammer nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.02.2005, 14:33

spike78

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ok dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(4n²-1) +(12n²+12n+3)}{3}=\frac{(4n³- n) +(12n²+12n+3)}{3} = \frac{4n³ +12n²+11n+3}{3} \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 14:36

kurellajunior

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Wenn Du die andere Seite auch ausmultiplizierst, dann sollte das Gleiche rauskommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

los gehts, (Die Klammer (n+1) nicht vergessen)
Jan

09.02.2005, 14:41

spike78

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ok nun seh ich es endlich. Prost

Prost

Danke Euch sehr für die Hilfe.

echt super, wenn man so schnell Hilfe bekommt.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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