Bestimmte Divergenz einer Folge zeigen

09.02.2005, 12:40

Sh0rty

Bestimmte Divergenz einer Folge zeigen

Hi,

Ich hänge im Moment bei folgender Aufgabe:

Man beweise: Für jede reelle Zahl b > 1 und jede natürliche Zahl k gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^n}{n^k} = \infty \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz bisher:
Für k=0 hab ich die Behauptung schon bewiesen:
$\begin{eqnarray*} \frac{b^n}{n^k} = \frac{b^n}{1} = b^n \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall K \in \mathbb R \exists n\in \mathbb N : b^n >K \end{eqnarray*}$ (wurde schon bewiesen)
Was ja gerade der Definition der bestimmten Divergenz entspricht, also gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b^n = \infty \end{eqnarray*}$ q. e. d.

Für den allgemeinen Fall k > 0 dachte ich hilft die Aquivalenz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^n}{n^k} = \infty \Leftarrow\Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{n^k}{b^n} = 0 \end{eqnarray*}$

Es ist also zu zeigen das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^k}{b^n} = 0: \end{eqnarray*}$

Ich dachte erst das es reicht zu zeigen das b^n > n^k für alle n,k € IN aber das würde ja nicht reichen, da das Verhältnis ja evtl. gleich bleiben würde. Man muss also irgendwie zeigen dass b^n schneller gegen unendlich wächst als jede Potenz von n!

Vielleicht hat ja einer von euich ne Idee, bzw. kann mir sagen ob ich bis jetzt richtig gelegen hab Augenzwinkern

MfG
Shoddy

09.02.2005, 20:05

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RE: Bestimmte Divergenz einer Folge zeigen
Betrachte für die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^k}{b^n} \end{eqnarray*}$ den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ und weise folgendes nach:
Es gibt eine positive Zahl q < 1 und einen Index n', so dass für alle n > n' die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q \end{eqnarray*}$

gilt. Dann fällt (a_n) schneller als eine geometrische Folge, und ist somit selbst Nullfolge.

10.02.2005, 18:24

Sh0rty

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Genial...

den beweis das es eine positive Zahl q < 1 mit $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

habe ich dann so geführt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^k * b^n}{b^{n+1} * n^k} = \frac{(n+1)^k}{b*n^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{b*n^k} < 1 \Rightarrow (n+1)^k < b*n^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n+1 < \sqrt{b}*n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n > \frac{1}{\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$ (hier meine ich natürlcih mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ die k-te Wurzel von b, ich wusste leider nich wie man das in LaTeX darstellt)

Nochmal herzlichen Dank Arthur Augenzwinkern

10.02.2005, 20:49

Mathespezialschüler

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Du musst nicht beweisen, dass es <1 ist, sondern eben, dass es eine Zahl q mit 0<q<1 gibt, sodass eben

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{b\cdot n^k} <q< 1 \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile ist falsch, da hast du falsch umgestellt.

PS: "\sqrt[k]{b}" ergibt $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{b} \end{eqnarray*}$

10.02.2005, 21:04

Sh0rty

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jau stimmt die letzte Zeile lautet richtig:
$\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\sqrt[k]{b}-1} \end{eqnarray*}$
(thx für den Tipp mit der k-ten Wurzel Augenzwinkern

)

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Du musst nicht beweisen, dass es <1 ist, sondern eben, dass es eine Zahl q mit 0<q<1 gibt, sodass eben

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{b\cdot n^k} <q< 1 \end{eqnarray*}$

schon klar, aber is das damit nicht bewiesen ?

MfG
Shoddy

10.02.2005, 21:36

Mathespezialschüler

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Jetzt ist es richtig, aber es bringt dir nichts, weil du ja nur <1 gezeigt hast: Es kann ja trotzdem beliebig nahe an 1 herankommen.
Beispiel: Für alle n ist

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}<1 \end{eqnarray*}$

Sag mir mal ein festes q<1, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}<q<1 \end{eqnarray*}$ für alle n gilt! Das geht nicht, warum? Weil $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen 1 geht und somit bis auf jedes noch so kleine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ an 1 herankommt!

12.02.2005, 18:02

Sh0rty

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hmmm...ok...stimmt..

Also um zu zeigen dass es ein q<1 gibt für das es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt so dass $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{b*n^k} \leq q\forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt, reicht dann doch wenn ich ein Beispiel anführe oder?

Also z. B. so:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{b*n^k} \leq \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (n+1)^k \leq \frac{1}{2} b * n^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n+1 \leq \sqrt[k]{\frac{1}{2}*b} * n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} \leq \sqrt[k]{\frac{1}{2}*b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {1}{n} \leq \sqrt[k]{\frac{1}{2}*b}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[k]{\frac{1}{2}*b}-1} \leq n \end{eqnarray*}$

womit ich dann bewiesen hätte das es für dieses q = 1/2 ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, nämlich $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ = nächstgrösste natürliche Zahl grösser $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[k]{\frac{1}{2}*b}-1} \end{eqnarray*}$ ??!!??

Bitte sagt mir dass ich damit durch bin und nich länger an der Aufgabe rumzukauen habe fröhlich

12.02.2005, 18:40

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Deine Umformung ist im Fall 1<b<2 fehlerhaft, da dann $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{b}{2}}-1<0 \end{eqnarray*}$ gilt!!!

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ klappts daher i.a. nicht, es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{b\cdot n^k}>\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

für alle n . Wenn du also ein konkretes q angeben willst, dann muss für q notwendig

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b}<q<1 \end{eqnarray*}$

gelten!

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