e-funktion

18.07.2007, 12:12

bleistift

e-funktion

Hallo,
ich hatte ein bisschen für die Schule Logarithmus- und Exponentialfunktionen bzw. Gleichungen geübt und da kam dann auch die e-funkition vor. Also angeblich soll man jede Exponentialfunktion auch mit ihr ausderücken können, also
$\begin{eqnarray*} y= a^{x} \Rightarrow y= a^{ln(a)*x} \end{eqnarray*}$
Warum braucht man die e-funktion für bestimmte Exponentialgleichungen (radioaktiver Zerfall??) und kann diese gleichungen nicht normal lösen?
Und woraus basiert eigentlich die obengenannte "Eigenschaft" der e-Funktion? In meinem Buch stand was davon, dass es damit zu tun hat, dass die Steigung des Grapfen proportial zu den Funktionswerten ist bei der e-Funktion. Das sagt mir alles irgendwie überhaupt nichts.

18.07.2007, 12:36

sqrt(2)

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RE: e-funktion

Zitat:

Original von bleistift
Also angeblich soll man jede Exponentialfunktion auch mit ihr ausderücken können, also
$\begin{eqnarray*} y= a^{x} \Rightarrow y= a^{ln(a)*x} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Es muss da stehen

$\begin{eqnarray*} y=a^x~\Ra~y=e^{x\ln a} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von bleistift
Warum braucht man die e-funktion für bestimmte Exponentialgleichungen (radioaktiver Zerfall??) und kann diese gleichungen nicht normal lösen?

Was ist "normal"? Mit einer anderen Basis als e? Das hat historische und praktische Gründe.

Als man noch keine Taschenrechner hatte, gab es Tafelwerke, in denen die Werte von Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen drinstanden. Wie du oben siehst, ist es aber eigentlich egal, welche Basis man verwendet, mit einer entsprechenden Logarithmusfunktion kann man alle Exponentialfunktionen unterschiedlicher Basen ineinander umrechnen.
Man muss sich also nur auf eine Basis einigen. Hat man das getan, braucht man nur noch zwei Tabellen: Die mit den Werten der Exponentialfunktion und die mit den Werten der Logarithmusfunktion.

Die e-Funktion bzw. der natürliche Logarithmus ln zeigt in der Analysis besondere Eigenschaften und sie lässt sich über eine Potenzreihe recht leicht berechnen. Daher nimmt man die.

Zitat:

Original von bleistift
Und woraus basiert eigentlich die obengenannte "Eigenschaft" der e-Funktion?

Auf den Potenzgesetzen. Das funktioniert auch mit jeder anderen Basis.

$\begin{eqnarray*} e^{x\ln a}=(e^{\ln a})^x=a^x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von bleistift
In meinem Buch stand was davon, dass es damit zu tun hat, dass die Steigung des Grapfen proportial zu den Funktionswerten ist bei der e-Funktion.

Das stimmt zwar, hat aber hiermit nichts zu tun.

18.07.2007, 15:16

bleistift

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RE: e-funktion

Zitat:

Original von sqrt(2)
Als man noch keine Taschenrechner hatte, gab es Tafelwerke, in denen die Werte von Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen drinstanden. Wie du oben siehst, ist es aber eigentlich egal, welche Basis man verwendet, mit einer entsprechenden Logarithmusfunktion kann man alle Exponentialfunktionen unterschiedlicher Basen ineinander umrechnen.
Man muss sich also nur auf eine Basis einigen. Hat man das getan, braucht man nur noch zwei Tabellen: Die mit den Werten der Exponentialfunktion und die mit den Werten der Logarithmusfunktion.

Die e-Funktion bzw. der natürliche Logarithmus ln zeigt in der Analysis besondere Eigenschaften und sie lässt sich über eine Potenzreihe recht leicht berechnen. Daher nimmt man die.

Achso, dann hab ich warscheinlich irgendeinen anderen Fehler gemacht.. Hab das Problem anscheinend auch schon beim ganz normalen berechnen des Wertes einer Exponentialfunktion und nicht erst bei Exponentialgleichungen . Man soll herausfinden welche Masse von 10g Wismut nach 12 Tagen noch übrig ist. Für Zerfall ist die Formel $\begin{eqnarray*} M_{n} = M_{o}*e^{-\frac{p}{100}} \end{eqnarray*}$ im Buch aufgeführt und damit bekomm ich auch das richtige Ergebnis $\begin{eqnarray*} M_{n} = 10*e^{-0,13*12}=2,1013 \end{eqnarray*}$
Die Formel wirkte mir irgendwie sehr kompliziert, also hab ich es so versucht:
$\begin{eqnarray*} y= 10*0,87^{12}=1,8803 \end{eqnarray*}$
Warum kommt ein falsches Ergebnis raus? Es ist doch nach einem weiteren Tag eigentlich immer das 0,87-fach des vorherigen Tages da und $\begin{eqnarray*} y= 10*0,87^{x} \end{eqnarray*}$ müsste den zerfall somit eigentlich richtig beschreiben.
edit: Überall wo das Sternchen ist soll eigentlich ein Malzeichen sein, weiß nicht wie ich das machen kan.

18.07.2007, 15:26

tigerbine

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RE: e-funktion

Zitat:

Original von bleistift
[quote]Original von sqrt(2)
A
edit: Überall wo das Sternchen ist soll eigentlich ein Malzeichen sein, weiß nicht wie ich das machen kan.

\cdot

18.07.2007, 15:37

sqrt(2)

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RE: e-funktion

Zitat:

Original von bleistift
Warum kommt ein falsches Ergebnis raus? Es ist doch nach einem weiteren Tag eigentlich immer das 0,87-fach des vorherigen Tages da

Nein. Wenn du p=13 hast, dann ist jeden Tag ein $\begin{eqnarray*} e^{-0.13}\approx0,8781 \end{eqnarray*}$ -faches vom Vortag da. Kleine Unterschiede in der Basis können im Ergebnis große Unterschiede machen.

18.07.2007, 19:12

bleistift

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RE: e-funktion

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von bleistift
Warum kommt ein falsches Ergebnis raus? Es ist doch nach einem weiteren Tag eigentlich immer das 0,87-fach des vorherigen Tages da

Aber 100%-13% ist doch genau 87% bzw. 0,87. Warum geht denn $\begin{eqnarray*} y= 10\cdot0,87^{x} \end{eqnarray*}$ nicht? Bei anderen Aufgaben zu Exponentialfunktionen die ich hatte war es eigentlich immer so, dass in den Exponenten die Anzahl der Vervielfachung und in die Basis der Faktor (hier 0,87?) der Vervielfachung kam.
Warum ist das bei solchen Aufgaben nicht mehr der Fall?

18.07.2007, 21:11

magneto42

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Hallo bleistift.

Was meinst Du mit 100%-13% = 87% verwirrt

? Willst Du einen Dreisatz machen bei der Exponentialfunktion?

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot e^{-0{,}13 \cdot x} = 10 \cdot \left(e^{-0{,}13}\right)^x \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} e^{-0{,}13} = 0{,}87809543\ldots \end{eqnarray*}$

wir daraus (siehe auch den Beitrag von sqrt(2)):

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot 0{,}8781^x \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot 0{,}8781^ {12} = 2{,}10149 \end{eqnarray*}$

klar?

Merke:
Wenn Du exakte Zahlen hast ( $\begin{eqnarray*} e, \pi, \sqrt{2} \ldots \end{eqnarray*}$ ), ziehe sie bis zum Ende der Rechnung durch.
Wenn Du Zwischenergebnisse berechnest, dann mit so vielen Stellen wie möglich; erst das Endergebnis wird mit so vielen Stellen wie nötig angeben.

18.07.2007, 21:27

sqrt(2)

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Oder um es ganz deutlich zu sagen: p ist kein Prozentsatz!

18.07.2007, 23:07

bleistift

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Zitat:

Original von magneto42
Hallo bleistift.

Was meinst Du mit 100%-13% = 87% verwirrt

? Willst Du einen Dreisatz machen bei der Exponentialfunktion?

Naja hätte auch 1-0,13=0,87 schreiben können. Aber es ist doch so, dass das noch übrig gebliebene sich nach einem Tag 0,87-facht hat. Warum geht denn trotzdem $\begin{eqnarray*} 0,87^{x} \end{eqnarray*}$ nicht? Hab dabei aufjedenfall nicht an Dreisatz oder so gedacht und hab das aus meinem Schulmathebuch auch so gelernt: "Zur gleichen Zeitspanne gehört immer eine Multiplikation mit dem gleichen positiven Faktor, der kleiner 1 ist. Einer Abnahme um p% entsprichter der Abnahmefaktor $\begin{eqnarray*} 1- \frac{p}{100} \end{eqnarray*}$ " (die Aufgabe stammt aus ´nem anderen Mathebuch)

Warscheinlich denke ich für solche Aufgaben ganz falsch traurig

. Wie kommt man denn auf diese Formel $\begin{eqnarray*} M_{n}=M_{o}\cdot e^{- \frac{p}{100}} \end{eqnarray*}$ ?

18.07.2007, 23:31

magneto42

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Ich denke langsam, da stimmt etwas hinten und vorne nicht verwirrt

Wenn die prozentuale Abnahme bei jeder Iteration $\begin{eqnarray*} \frac{p}{100} \end{eqnarray*}$ sein soll, dann lautet die Formel doch

$\begin{eqnarray*} M_n = M_0 \cdot \left(\frac{p}{100}\right)^n \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} M_n = M_0 \cdot e^{ln\left(\frac{p}{100}\right) \cdot n} \end{eqnarray*}$

oder?

18.07.2007, 23:38

sqrt(2)

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Ja.

Zitat:

Original von bleistift
Aber es ist doch so, dass das noch übrig gebliebene sich nach einem Tag 0,87-facht hat.

Nein!

22.07.2007, 15:11

bleistift

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Ja.

Zitat:

Original von bleistift
Aber es ist doch so, dass das noch übrig gebliebene sich nach einem Tag 0,87-facht hat.

Nein!

Ja, aber was ist denn der Grund, dass es nicht so ist(also $\begin{eqnarray*} y=10*0,87^{x} \end{eqnarray*}$ falsch ist)? Und wie begründet sich eigentlich die richtige Formel?

22.07.2007, 15:43

sqrt(2)

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Das steht alles in meinem ersten Antwortposting. Was genau daran hast du nicht verstanden?

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