Untersuchung linearer Abhängigkeit bei einer unbekannten Komponenten

18.07.2007, 14:01

Selek

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Untersuchung linearer Abhängigkeit bei einer unbekannten Komponenten

Hallo,
Bin gerade an meinem letzten Heft zu lineare Algebra und habe auch meine Aufgaben soweit fertig. Sogar eine, die eigentlich optional war *stolz*, aber bei dieser Aufgabe breche ich mir echt einen ab.
Also,
gegeben sind die drei Vektoren:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -x \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}B=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2x \end{pmatrix} C=\begin{pmatrix} 0 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt zeigen, für welche x die drei Vektoren linear abhängig sind. Ich habe dann versucht mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren (sowohl mit Gleichungssystem als auch mit einer Matrix) was zu machen, aber egal wie oft ich hin und her rechne... es bleiben in jeder Zeile 2 Variablen (neben x) und damit kann ich ja keine brauchbare Aussage machen.
Dann habe ich es mit dem Determinantenverfahren, was in dem Heft als Lösungsmittel aber gar nicht erwähnt wird, versucht, aber kam da zum Schluss nur auf:
$\begin{eqnarray*} -16(x^2-x+6) \end{eqnarray*}$
Damit kann man aber auch keine brauchbare Aussage zu x treffen (oder?).
Wie gesagt, ob das so stimmt weiß ich nicht, weil das eigentlich nicht besprochen wurde und ich mir das nur aus dem Internet als alternative Lösungsmethode rausgesucht hatte.

Wie gesagt, ich werd bei dieser Aufgabe echt kirre. Wär toll, wenn mir jemand helfen könnte. Steh total auf dem Schlauch

18.07.2007, 14:05

tigerbine

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RE: Untersuchung linearer Abhängigkeit bei einer unbekannten Komponenten
Deine Idee klingt doch gut. Wahrscheinlich kannst Du sie nur nicht richtig interpretieren.

Ich ersetze mal t:=x, nix für ungut Augenzwinkern

Augenzwinkern

und A werde ich für eine Matrix verwendet.

Dann betrachtet man das homogene LGS Ax=0, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -t&4&0\\-8&-4&-8\\1&2t&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun bringt man die Matrix auf Zeilenstufenform (Gauss). Postest Du mal dein Ergebnis?

18.07.2007, 14:16

Selek

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Oje, also gut:

I
$\begin{eqnarray*} -tx_1+4x_2=0 \end{eqnarray*}$
II
$\begin{eqnarray*} -8x_1-4x_2-8x_3=0 \end{eqnarray*}$
III
$\begin{eqnarray*} x_1+2tx_2+4x_3=0 \end{eqnarray*}$

Mein holperiges Ausrechnen könnte ein paar Minuten in Anspruch nehmen...

18.07.2007, 14:19

tigerbine

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Das ist ein Schritt in die "falsche Richtung". Lass uns mal in der Matrix Schreibweise bleiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten Üertrag ich Dir das. ist denn klar, wie die Schreibweise entsteht? du postest ja in der Schulmathe.

18.07.2007, 14:24

Selek

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Falsche Richtung? Wie meinst du das? verwirrt

verwirrt

Welche wäre denn die richtige?

Wie das entsteht, ist mir schon relativ klar (glaube, nein, hoffe ich). Wieso? Ist das falsch bei Schulmathe?

18.07.2007, 14:30

tigerbine

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Nein, das ist nicht falsch. Nur ist das auch eine klassische Aufgabe Lineare Algebra I und wenn ich dann mit etwas auch der Hochschule argumentiere, könnte Dir das ja vielleicht unbekannt sein.

Mit Falsche Richtung meine ich, dass man hier mit der Regularität der Matrix argumentieren will, daher schreibt man das LGs in dieser Form und nicht die einzelnen Gleichungen.

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18.07.2007, 14:38

Selek

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Ach so, nein Hochschule ist das auch nicht. Wie gesagt, eigentlich weiß ich ja auch noch gar nichts von der Determinantenmethode. Darf ich aus deiner Antwort schließen, dass die Aufgabe an sich gar nicht so schwer ist?
Wieso verhaspel ich mich dann dauernd? Oder bin ich einfach so blöd?

18.07.2007, 14:41

tigerbine

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Die Aufgabe ist nicht so schwer. Lass uns doch erstmal den weg mit Gauss gehen, den kennt ihr? Ansonsten dürfte dir als Mittel wahrscheinlichn ur die Definition der lin. Unabhängogkeit zur Verfügung stehen, d.h. die 3 Vektoren dürfen nur trivial zum Nullvektor kombinierbar sein.

Trivial heißt hier 0*A +0*B+0*C = 0-Vektor

Bitte schreib mir das Ergebnis deines Gauss doch mal hin. Du hattest das doch schon gerechnet, oder?

18.07.2007, 14:56

Selek

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Tja, dann mal los:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -t & 4 & 0 \\ -8 & -4 & -8 \\ 1 & 2t & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
I+II
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8-t & 0 & -8 \\ -8 & -4 & -8 \\ 1 & 2t & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
III+1/2*II
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8-t & 0 & -8 \\ -8 & -4 & -8 \\ -3 & 2t-2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
II-I
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8-t & 0 & -8 \\ -t & -4 & 0 \\ -3 & 2t-2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tja, und so kann es jetzt theoretisch stundenlang weitergehen. Oder meinst du was anderes?

18.07.2007, 15:12

tigerbine

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Ja ich meine es anders.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -t&4&0\\-8&-4&-8\\1&2t&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ziel 1: Erste Spalte und der Diagonale muss 0 werden. Das kann z.B. so gehen (Einzelschritte)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\-2&-1&-2\\-2&-4t&-8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2t&-8&0\\-2t&-1t&-2t\\-2t&-8t^2&-8t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2t&-8&0\\0&-t-8&-2t\\0&-8t^2-8&-8t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&-t-8&-2t\\0&-t^2-1&-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun ist die Zweite spalte dran. Ich nehme mal an, du wolltest eine andere Dreiecksmatrix erzeugen, um zunächst die t's zu umgehen?

Auch hier gilt wie bei "Zahlen", bilde eben das KGV.

18.07.2007, 15:41

Selek

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Ob jetzt oberhalb oder unterhalb der Diagonalen die Nullen stehen ist doch eigentlich egal oder?
Das ist genau mein Problem, ich brech mir da dermaßen einen ab.
Also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&-t-8&-2t\\0&-t^2-1&-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&-t^2-8t&-2t^2\\0&-t^2-1&-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&-t^2-8t&-2t^2\\0&-8t-1&2t^2-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t^2&-4t&0\\0&-t^2-8t&-2t^2\\0&-8t-1&2t^2-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2t^2&-8t&0\\0&-t^2-8t&-2t^2\\0&-8t-1&2t^2-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tja, und da verließen sie ihn wieder. Wenn ich jetzt weiter mache, landet wieder eine Variable mehr in einer Zeile anstatt weniger. Ich krieg echt die Krise. Ich bin kurz davor, die Aufgabe einfach wegzulassen. Geh jetzt eben kurz duschen.
Danke, dass du dir die ganze Zeit die Mühe machst.

18.07.2007, 15:52

klarsoweit

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RE: Untersuchung linearer Abhängigkeit bei einer unbekannten Komponenten

Zitat:

Original von Selek
Dann habe ich es mit dem Determinantenverfahren, was in dem Heft als Lösungsmittel aber gar nicht erwähnt wird, versucht, aber kam da zum Schluss nur auf:
$\begin{eqnarray*} -16(x^2-x+6) \end{eqnarray*}$
Damit kann man aber auch keine brauchbare Aussage zu x treffen (oder?).
Wie gesagt, ob das so stimmt weiß ich nicht, weil das eigentlich nicht besprochen wurde und ich mir das nur aus dem Internet als alternative Lösungsmethode rausgesucht hatte.

Falls ich mich mal einklinken darf:

Mit der Determinante kann man das durchaus feststellen. Wenn die Determinante Null ist, sind die Vektoren linear abhängig. Falls dieser Weg erlaubt ist, wäre das nach meiner Meinung die beste Methode.

18.07.2007, 15:57

tigerbine

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Also angenommen ich habe mich bis dato nicht verrechnet (auch hier ist es sehr heiß)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&-t-8&-2t\\0&-t^2-1&-t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun können wir auch ganz brutal rechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&(t+8)(t^2+1)&2t(t^2+1)\\0&-(t^2+1)(t+8)&-t(t+8)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t&-4&0\\0&(t+8)(t^2+1)&2t(t^2+1)\\0&0&2t(t^2+1)-t(t+8)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@Klarsoweit:

Da hier der Fall 3x3 und damit Sarrus einfach möglich ist, stimme ich Dir zu. Jedoch sagte Selek doch, das er das nicht nehmen darf, oder? verwirrt

verwirrt

18.07.2007, 15:59

klarsoweit

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OK. Dann lassen wir die komplizierte Matrizenrechnerei und machen dies:

Zitat:

Original von Selek
I
$\begin{eqnarray*} -tx_1+4x_2=0 \end{eqnarray*}$
II
$\begin{eqnarray*} -8x_1-4x_2-8x_3=0 \end{eqnarray*}$
III
$\begin{eqnarray*} x_1+2tx_2+4x_3=0 \end{eqnarray*}$

Aus der 1. Gleichung nach x_2 umstellen. Dann dies in die 2. und 3. Gleichung einsetzen. Dann das doppelte der 3. Gleichung zur 2. Gleichung addieren. Daraus dann nach x_1 auflösen.

18.07.2007, 16:24

Selek

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@klarsoweit:
Von dem Determinantenverfahren weiß ich offiziell wirklich noch nichts.

Man kann aber schon mal zusammenfassen, dass ich einfach zu doof zum richtigen ausrechnen bin. Sowas dachte ich mir schon. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Muss jetzt arbeiten. Gucke mir das alles nochmal in Ruhe an, wenn ich wiederkomme.
Aber auf jeden Fall, vielen Dank für eure Hilfe. Auch dafür, dass tigerbine nicht die Geduld mit mir verloren hat. Gott

Gott

05.07.2012, 18:50

Renox123

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Der Thread ist zwar schon älter, aber aus gegebenem Anlass (bevorstehende Linearer Algebra Klausur), hab ich die Aufgabe mal durchgerechnet und bin auch ohne Probleme auf die Lösungen 3 und 2 gekommen für x gekommen.

Die Determinante ergibt nach Entwicklung der ersten Zeile die Formel -16x^2 +16x +96

0 = -16x^2 +16x +96 | : (-16)
0 = x^2 - x - 6

pq-formel liefert dann die Werte 2 und 3. Da die Determinante für diese Werte für x 0 ergibt, ist das Vektorsystem für x=2 und x=3 linear abhängig, für alle anderen Werte linerar unabhängig!

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