Potenzregel

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09.02.2005, 17:04

Fabndmojo

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Potenzregel

Hallo,
kann mir jemand den Beweis für die Potenzregel erklären???
Am besten so richtig für Idioten. verwirrt

..!!!

Die Anwendung versteh ich ja aber ich krich den Beweis nich hin..

Danke

09.02.2005, 17:11

Mathespezialschüler

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Wofür willst du sie denn beweisen, natürliche oder reelle Exponenten?

Ich kenn im wesentlichen für natürliche Exponenten drei Beweismöglichkeiten:
1. Binomischer Satz
2. Vollständige Induktion
3. $\begin{eqnarray*} \frac{x^n-\xi^n}{x-\xi} \end{eqnarray*}$ in eine Summe umwandeln.

Vielleicht hilft dir das ja.

09.02.2005, 17:35

hammel

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meinst du die ganz einfachen Potenzregeln?

1. $\begin{eqnarray*} a^2 = a*a \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} a^n = a * a * a * a *...* a \end{eqnarray*}$ das a wird n-mal multipliziert

und

2. $\begin{eqnarray*} (a^n)^c= a^n * a^n * a^n * ...* a^n \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ wird c mal hingeschrieben, wie bei $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$
dann verfährt man, wie bei 1.
Also:

$\begin{eqnarray*} (a^n = a * a * a * a *...* a) * (a^n = a * a * a * a *...* a) *...*(a^n = a * a * a * a *...* a) \end{eqnarray*}$

das a in der Klammer wird n-mal multipliziert und die (a^n = a * a * a * a *...* a) wird c mal multipliziert.

jetzt hast du eine Kette von a, die genau n*c lang ist (du hast c viele Klammern mit n vielen a drin)

also ist $\begin{eqnarray*} (a^n)^c=a^{n*c} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} a^m * a^n = a^{m+n} \end{eqnarray*}$
du hast einmal m viele a und dann nochmal n viele a, alos hast du insgesammt m+n viele a

4. $\begin{eqnarray*} (a^m)/(b^m) = (a/b)^m \end{eqnarray*}$
du hast im Zähler m viele a und im Nenner m viele b, das sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} (a*a*a*..*a)/(b*b*b*..*b)=(a/b)*(a/b)*(a/b)*...*(a/b)*=(a/b)^m \end{eqnarray*}$

edit: latex-Code verbessert, Exponenten müssen (falls mehr als ein zeichen) in geschweifte, nicht in runde Klammern! (MSS)

09.02.2005, 17:53

Fabndmojo

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@Mathespezialschüler

das Umwandeln in eine Summe würde mir weiterhelfen..

kann mir das jemand explizit erklären???

09.02.2005, 22:52

Mathespezialschüler

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Du sollst es aber wirklich nur für natürliche n beweisen, ja?
Kannst es ja mal so machen: Setze erstmal n=5 ein und mache eine Polynomdivision, das nochmal für n=9 z.B. und dann äußerst du ne Vermutung, die du dann beweisen kannst Augenzwinkern

12.08.2007, 14:46

MatheAss17

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Beweis der Potenzregel
potenzregel:

es sei $\begin{eqnarray*} f(x)= x^{n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

dann gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)= n * x^{n-1} \end{eqnarray*}$

probe: $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 * x \end{eqnarray*}$

für den nachfolger von n, nämlich n+1, müsste dann folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} (n+1)'(x)= (n+1) * x^{n} \end{eqnarray*}$

beweis:

man setze $\begin{eqnarray*} id: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x: id(x) = x \end{eqnarray*}$ , dann bekommt man über vollständige induktion das hier:

$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (n+1)'(x) = (n * id)(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n'(x) * id(x) + n(x) * id'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n * x^{n-1} * x + x^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n * x^{n} + x^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1) * x^{n} \end{eqnarray*}$

und das entspricht genau der induktionsannahme, d.h. es gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f'(x)= n * x^{n-1} \end{eqnarray*}$

12.08.2007, 14:54

Dual Space

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RE: Beweis der Potenzregel

Zitat:

Original von MatheAss17
für den nachfolger von n, nämlich n+1, müsste dann folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} (n+1)'(x)= (n+1) * x^{n} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich schon nicht. verwirrt

Was bedeutet (n+1)'?

12.08.2007, 15:10

WebFritzi

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@MatheAss17: Du hast totalen Blödsinn geschrieben. Besser so: Sei $\begin{eqnarray*} f_n(x) := x^n. \end{eqnarray*}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f_n'(x) = nx^{n-1}. \end{eqnarray*}$ Für n=0 gilt das offenbar. Es gelte die Behauptung für n. Dann folgt

$\begin{eqnarray*} f_{n+1}'(x) &=& \frac{d}{dx} x^{n+1} = \frac{d}{dx} (xf_n(x))\\ &=& 1\cdot f_n(x) + xf_n'(x) = x^n + x\cdot nx^{n-1}\\ &=& (n+1)x^n. \end{eqnarray*}$

12.08.2007, 18:12

mYthos

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Zitat:

Original von WebFritzi
@MatheAss17: Du hast totalen Blödsinn geschrieben.
...

.. und damit einen bereits zweieinhalb Jahre alten Thread unnötig wiederbelebt. Big Laugh

mY+

12.08.2007, 18:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von WebFritzi
@MatheAss17: Du hast totalen Blödsinn geschrieben.
...

.. und damit einen bereits zweieinhalb Jahre alten Thread unnötig wiederbelebt. Big Laugh

..., in dem es nicht einmal um irgendeine Ableitung ging.

12.08.2007, 19:05

MatheAss17

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totalen blödsinn? überdenk bitte nochmal deine ausdrucksweise...

du musst nämlich 2 dinge beachten:

1. vllt wohnst du in einer anderen region, tatsache ist, hier hätte meine variante vollkommen als beweis ausgereicht, zumal dein beweis im prinzip dasselbe aussagt, nur anders verschriftlicht ist

2. ich bin denk ich ein wenig jünger als du.. ich gehe noch zur schule damit du es weißt

aber ich will mich nicht unnötig hier totschreiben, ich akzeptier deine meinung und wenn du sagst ich hab blödsinn geschrieben dann mag das in deinen augen so sein, nur andere leute sehen das anders.

+ein schönen tag noch

MA17

12.08.2007, 19:13

WebFritzi

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LOOOL, ach ja, entschuldige. Ich habe die mathematische Dialektik nicht beachtet. Sehr geil. Selten so gelacht.
Wag es ja nicht, nochmal zu schreiben. Gegen einen arroganten Sack wie mich hast du keine Chance.

12.08.2007, 19:32

MatheAss17

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doch ich schreib noch mal Big Laugh

du arroganter sack du Big Laugh

12.08.2007, 20:36

WebFritzi

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Das war sicher nicht das MatheAss17 von vorhin. Der/die hat die Hosen voll. Du bist ein Troll!

13.08.2007, 13:11

mYthos

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