Integrierbarkeit + Integral

09.02.2005, 17:07

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Integrierbarkeit + Integral

moinsen

ich soll zeigen dass folgende Funktion Riemann integrierbar ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x[\frac{1}{x}] \end{eqnarray*}$ (das sind Gauss bzw. "Größtes Ganzes"-Klammern) und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich habe schon das Riemansche Integrabilitätskriterium probiert, mit keinem Ergebnis. Leider ist f(x) auch nicht monoton oder stetig.
Hat f(x) vielleicht endlich viele Unstetigkeitsstellen? Das würde mir auch schon helfen...

Bin für jeden Tipp dankbar

mfg.

09.02.2005, 19:29

Leopold

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Zur Berechnung des Integrals schlage ich dir vor, erst die Summe der rechtwinkligen Dreiecke oben zu bestimmen und diese dann von 1 (=Inhalt des Einheitsquadrates) abzuziehen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, so brauchst du

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \ = \ \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 19:36

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ich habe doch quasi unendlich viele Dreiecke...von den ersten paar kann ich die fläche ja noch ausrechnen, aber von den anderen hum

und wie kommst du auf diese Summenformel?

09.02.2005, 21:47

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Leopold hat anscheinend Feierabend, also versuch ich mal, seine Lösung zu erklären.

1) Man betrachte die Funktion f(x) im Intervall $\begin{eqnarray*} \left]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ . Dort ist sie linear, denn in diesem Intervall gilt $\begin{eqnarray*} n\leq\frac{1}{x}<n+1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=nx \end{eqnarray*}$ .

2) Mit der Erkenntnis von 1) zerlegt man das Intervall [0,1] in unendlich viele Teilintervalle und berechnet

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 f(x)~dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} f(x)~dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} nx~dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n\int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} x~dx\stackrel{!}{=}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{n=k}^{\infty} \int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} x~dx\stackrel{!}{=}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\frac{1}{k}} x~dx=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{12} \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 22:21

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vielen dank!!

smile

smile

09.02.2005, 23:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} x~dx\stackrel{!}{=}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{n=k}^{\infty} \int\limits_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} x~dx \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf?
Und was bedeutet das "!" über dem "="? verwirrt

verwirrt

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09.02.2005, 23:37

AD

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$\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ soll eigentlich nur andeuten, dass hier eine für ungeübte Augen ungewöhnliche Umformung vorgenommen wurde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und die Summationsvertauschung von k und n ist eben so (Dreieckgitter in N²).

EDIT:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\frac{1}{k}} x~dx \end{eqnarray*}$

kann man auch direkt geometrisch verstehen, wenn Leopold seine Geraden k*x (k=1,2,...) bis in den Ursprung verlängert... Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.02.2005, 23:48

Leopold

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Ich habe mir das rein geometrisch-anschaulich überlegt. Dazu betrachte ich alle rechtwinkligen Dreiecke, die in meiner Zeichnung oben an der horizontalen Strecke hängen. Sie haben nacheinander die Strecken

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \ \frac{1}{3} - \frac{1}{4}, \ \frac{1}{4} - \frac{1}{5}, \ ... \end{eqnarray*}$

als horizontale Katheten

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{5}, \ ... \end{eqnarray*}$

als vertikale Katheten. Das Doppelte ihres Gesamtflächeninhaltes $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist daher

$\begin{eqnarray*} 2F = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \left( \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \ldots \right) - \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - \left( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} F = 1 - \frac{\pi^2}{12} \end{eqnarray*}$

Somit folgt

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ 1 - \left( 1 - \frac{\pi^2}{12} \right) = \frac{\pi^2}{12} \end{eqnarray*}$

10.02.2005, 00:09

AD

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Hier noch die Skizze zu meiner letzten "geometrischen" Bemerkung:

10.02.2005, 00:23

Leopold

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Wunderschön, wie man die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ jetzt sehen kann.

10.02.2005, 08:19

AD

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Für Interessenten folgt nun noch der Quellcode für obiges Bild. Es ist pures Postscript ( geschockt

geschockt

). Einfach als grafik.eps speichern und z.B. in GhostView betrachten.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:

%!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2
%%BoundingBox: 0 0 600 600

/dreieck { /k exch def /r 1 k div def
newpath 0 0 moveto r 1 r sub lineto r 1 lineto closepath
4 4 k add div setgray fill} def

0 setlinewidth
600 600 scale
1 1 20 {dreieck} for

showpage

10.02.2005, 13:00

Leopold

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Euklid ist zwar keine Programmiersprache, aber immerhin befolgt es das Makro-Konzept. Mit dem Makro Dreiecksfolge läßt sich die Figur ebenfalls herstellen - na ja, von Hand sozusagen ...

Man könnte Arthurs Figur auch als "vide!"-Beweis für die Konvergenz der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

ansehen.

10.02.2005, 21:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Und die Summationsvertauschung von k und n ist eben so (Dreieckgitter in N²).

*g*, jaja das hört man oft in der Mathematik, obwohls dann doch nicht so trivial ist, zumindest muss mans ja mal zeigen.
Ich verstehs trotzdem nicht und so eine "das ist doch trivial"-Bemerkung hilft mir da auch nicht (nicht böse gemeint Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
Die ganzen geometrischen Sachen hab ich ja verstanden, aber das hilft ja wohl dabei nicht.
edit: Ok, habs mir mal ordentlich aufgeschrieben und jetzt is es klar. Mit dem Dreiecksgitter meinst du wohl die Form der Summierung, dass sie aussieht wie ein Dreieck, wie es bei der Dreiecksform bei GLSen auch ist, richtig?

@Leopold
Das mit dem sehen der Reihe ist nicht wirklich ernst gemeint oder?
Was ist ein "vide!"-Beweis? Und wieso sollte Arthurs Figur solch einer sein? verwirrt

verwirrt

10.02.2005, 22:28

AD

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Hmmm, also nichttrivial ist per Definition, was MSS nicht auf Anhieb versteht. Werd ich mir merken. Big Laugh

Big Laugh

Na, wenns denn sein muss, obwohl ich es wirklich für trivial halte:

$\begin{eqnarray*} \left\{ (n,k)\in\mathbb{N}^2 \bigm| n\geq 1,\; 1\leq k\leq n \right\} = \left\{ (n,k)\in\mathbb{N}^2 \bigm| 1\leq k\leq n \right\} = \left\{ (n,k)\in\mathbb{N}^2 \bigm| k\geq 1,\; n\geq k \right\} \end{eqnarray*}$

Oder spielst du auf die Reihenumordnung an? Alles positive Reihenglieder, also entweder Konvergenz oder bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , mehr kann da nicht passieren.

10.02.2005, 22:34

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Leopold
Das mit dem sehen der Reihe ist nicht wirklich ernst gemeint oder?
Was ist ein "vide!"-Beweis? Und wieso sollte Arthurs Figur solch einer sein? verwirrt

verwirrt

Das ist sogar sehr ernst gemeint. Addiere doch die Inhalte aller Dreiecksflächen in Arthurs Figur. Nimm als Grundseite für die Berechnung des Flächeninhalts jeweils die vertikale Dreiecksseite.

vide! (lat.) - sieh!

Offenbar ist die Summe der Inhalte der Dreiecke kleiner als der Inhalt des Quadrates. Also kann man die Konvergenz "unmittelbar sehen".

10.02.2005, 22:54

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Hmmm, also nichttrivial ist per Definition, was MSS nicht auf Anhieb versteht. Werd ich mir merken. Big Laugh

Big Laugh

So war das nicht gemeint! Big Laugh

Big Laugh

Habs ja jetzt auch hinbekommen, danke!

Zitat:

Original von Leopold
Offenbar ist die Summe der Inhalte der Dreiecke kleiner als der Inhalt des Quadrates. Also kann man die Konvergenz "unmittelbar sehen".

Hammer

kann ich nichts zu sagen ...

@Leopold
Welche Dreiecke denn, für die weißen hast du es doch oben schon alles gemacht und da es rechtwinklige Dreiecke sind, ist doch die Grundseite egal verwirrt

verwirrt

10.02.2005, 23:11

Leopold

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Liest du eigentlich die Beiträge wirklich durch?
Wir sprachen doch soeben von den grauen Dreiecken.

10.02.2005, 23:33

Mathespezialschüler

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Sorry, ich hatte wohl die "geometrische Bemerkung" von Arthur Dent aus dem vorigen Beitrag übersehen. Jetzt ist mir aber alles klar, danke!

10.02.2005, 23:38

Leopold

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Wenn künftig noch einmal jemand hier nach einem Beweis für die Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

fragt, werden wir ihn nur zu Arthurs Zeichnung verlinken und laut rufen: VIDE!

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