Klausurvorbereitung, überprüft da mal

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurvorbereitung, überprüft da mal
So die Aufgabe

Sei:



mit



a) Geben sie den maximalen Definitionsbereich an!

b) ist D offen, abgeschlossen oder weder noch?

c) Ist f differenzierbar auf D ?

d) Geben sie Tangentialebene an den Punkt an.

So los gehts, zunächst wird die Funktion erstmal verschönert



Man sieht schon für x = y = 0 ist die Funktion nicht definiert, generell muss gelten:



Visualisiert man jetzt die Funktion y = x² so sind alle Punkte unterhalb der Parabel Element von D. Die Kurve selber gehört nicht zu D dazu. Alles oberhalb der Parabel ist nicht Element aus D es gilt also



ist offen da der Rand nicht zur Menge gehört. (Auf mathematische Definition sei hier verzichtet)

Die Funktion ist auf D differenzierbar da sie

a) in jedem Punkt aus D Definiert ist (das sagt ja Definitionsbereich^^)
b) Quotient, Verkettung und Summe von differenzierbaren Funktion sind ebenfalls differenzierbar. Man kann die Funktion als Verkettung, Quotienten und Summe von einstelligen Differenzierbaren Funktionen betrachten, nämlich f(x) = x , f(y) = y
c) D ist offen, es gibt also keine Randpunkte gesondert zu betrachten

so nun die Tangentialebene





für die Tangentialebene heißt das also



also



insgesamt also



So, das wars. wie gesagt schaut mal drüber. Ich werd wohl alle Aufgaben hier posten um das Forum nich zuzumüllen.

edit danke folgensuchender Augenzwinkern
folgensucher Auf diesen Beitrag antworten »

ein Tipp am Rande:

für partielle Ableitungen gibt es ein Extra-Befehl in LaTeX. mit \patial erscheint das richtige Zeichen, das "runde d" oder wir ihr es auch nennt.

So ist es richtig:

 
 
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausurvorbereitung, überprüft da mal
Zitat:
Original von Mazze


Ich sehe nur erstmal das hier. Die Ableitung nach y stimmt nicht. Was hast du denn beim vorderen Summanden gemacht verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Quotienten regel sagt



ehm ja, x nach y abgeleitet ist natürlich 0 ...

ja dann folgt dann natürlich



und das macht natürlich für die Tangentialebene einiges aus

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Warum so kompliziert verwirrt



Also:

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

das wär ja zu einfach Hammer
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, wurde angerufen...

/edit: Quatsch....da ob muss ein y hin Augenzwinkern .

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Tangengtialebene ist das Taylorpolynom ersten Grades an den punkt x0,y0.

edit

ah ich sehe ich hab oben nen Tippfehler, nun sollte alles klar sein.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf:





-----------------------

DB und das müsste stimmen, aber ich bin mir das nicht so sicher, wäre besser, wenn Leopold oder AD oder jemand nochmal drüberschaut
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte es oben schonmal mit der falschen Ableitung zusammengefasst, ist an sich nicht der hit...



=

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist noch ein Vorzeichenfehler drin:





Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

jo danke, sowas passiert dann immer in der Klausur. Also mal mehr Konzentrieren ^^
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn das, kriegen 3 Übungsklausuren, ich mach keinen einzigen Fehler, und hab dann in der Arbeit 13 Punkte, .... zwei total "Nicht-Fehler" in der Aufregung und mit Klasur-Nebel hab ich's mal wieder geschafft...nur Schusselfehler traurig Das Kotzen mich so an....
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So die nächste Aufgabe , folgendes

Man berechne den Volumen des Körpers, der ensteht wenn man die Kugel



und den zylinder



schneidet. Man muss also über das Gebiet



die Funktion



Integrieren, ich ahb auch schon eine Passende Koordinatentransformation gefunden.

x = rsinh(u)
y = rcosh(u)

also d(x,y) = -rd(r,u)

Ich hab nur ein enormes Problem. Ich kann die Grenzen nicht fest setzen. Ich weiß genau wie das Gebiet aussieht über das wir integrieren müssen, das ist halt ein Ring der Breite nur ich hab Schwierigkeiten die Grenzen zu finden. Irgendwelche Tipps vielleicht?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt muss ich passen. Sowas hab ich noch nie gemacht, tut mir Leid...soweit bin noch nicht traurig

Ich kann dir zwar folgen, aber ob's alles so stimmt, weiß ich nicht verwirrt

Aber ich werde es an deinem Beispiel gleich lernen Big Laugh (guter Witz)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

also im Prinziep hab ich jetzt



Mit meiner Koordinatentransformation könnt ich den ersten Schritt machen allerdings entsteht dann ein wirklich hartes Integral. Ich vermute es geht noch wesentlich eleganter aber mir fällt nix ein unglücklich
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

direkt mal sry für den Doppelpost, aber ich will ja

a) das der hier nich verschwindet und
b) vielleicht findet ja doch einer noch ne Antwort


Ok, ich hab das Problem vereinfacht. Ich berechne erstmal das gesammt Volumen der Kugel,also



Davon zieht man dann den Teil über dem Gebiet



ab, also



Die Grenzen sind hierfür recht klar



Mit der Transformation

x = rsin(u)
y = rcos(u)

dydx = rdrdu

wird das Integral sogar lösbar nur es gibt ein Problem wenn ich also Transformiere, wie muss ich die Koordinaten ändern? Das Integral das ensteht ist folgendes



Also es lößt sich perfekt auf, nur die Frage ist, wie verändere ich die Grenzen, das ist auch das was mir im letzten Test 2 Punkte geklaut hat, alles richtig nur ich krieg die Grenzen nicht hin unglücklich Und damit kann ich dann das Integral natürlich nicht lösen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst natürlich auch G deiner Polarkoordinatentransformation unterwerfen, d.h. du bekommst dann eine Menge



Und wie sieht G' wohl im Fall eines Kreises G aus? verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

hm

wenn x = rsin(u) ist und y = rcos(u) und x² + y² <= 1 sein soll dann heißt das doch das



also



und



seh ich das richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die u-Bedingung noch in das G' reinschreibst - ja! Freude

Natürlich ist r generell nichtnegativ, das sollte natürlich auch noch mit rein!


P.S.: Übrigens, bei deiner ersten Aufgabe ist der Definitionsbereich

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar dann heißt das für das Integral dann



=



hm, das ist aber 0 , dann würde 4pi als ergebnis herauskommen. Kann das Stimmen?

Zitat:
P.S.: Übrigens, bei deiner ersten Aufgabe ist der Definitionsbereich


Irgendwas musste ich da ja vergessen Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

r als Polarkoordinatenradius ist immer nichtnegativ (hatte ich oben zu spät in meinen Beitrag reineditiert)!

Also nur von 0 bis 1 integrieren.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, das lößt sich natürlich schnell auf und es kommt als Ergebnis



für V also



=



also insgesammt



Gibts eigentlich kompakte Formeln um das zu überprüfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Gibts eigentlich kompakte Formeln um das zu überprüfen?


Naja, direkt geometrisch: Zylinder + 2 Kugelkappen
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Jo dann muss man aber den Schnitt berechnen und davon ausgehend die Höhe die Arbeit mach ich mir nu nich mehr. Trotzdem vielen dank, zumindest hab ich den Teil jetzt ganz gut drin smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So weiter gehts

man finde und Diskutiere die Extremstellen von



erstmal die Ableitungen





Jetzt sind die Stellen wichtig an denen beide erste Ableitungen Null sind. Man sieht schon als Notwendige Bedingung muss x = y sein. Sei also x =y es folgt



die Nullstellen sind dann wie man schnell sieht



Nun zu den zweiten Ableitungen







Ich definiere









dann ist

LN - M² = 0

L < 0

=> keine Aussage



LN - M² = 384 > 0

L > 0

ist Minimum

Betrachtet man fällt auf das sich dank dem Quadrat nichts ändert, also ist -wurzel(2),-wurzel(2) auch minimum!

So denke hier kann man nicht viel falsch machen oder?

Beim Maximum handelt es sich nur um ein lokales!
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, jetzt kann ich wieder Big Laugh

Zitat:
Original von Mazze

Du meinst wohl eher



Augenzwinkern ...hab's berichtigt.

Zitat:

Stimmt Freude

Zitat:

Das stimmt nicht. Guck dir noch mal die 1. Ableitung an.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt die gemischte partielle Ableitung ist natürlich -4. Das ändert einiges für (0,0) dann ist nämlich
LM - M² = 0

=> keine Aussage mit unseren Mitteln möglich. Man müsste jetzt die dritten partiellen Ableitungen überprüfen, aber naja, das machen wir nicht -_-;;


für wurzel(2) etc ändert es nur die Tatsache das

LM - M² = 384 > 0

mehr nicht
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Japp stimmt beides.

/edit: Es ist dann



/edit2: noch ein schönes bildchen dazu:
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hinsichtlich (0,0) solltest du dir die Funktionswerte von f(x,x) sowie f(x,-x) für positive kleine x im Vergleich zum Funktionswert f(0,0) anschauen!
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte auf ziemlich sattlich getippt Augenzwinkern . Stimmt sogar Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Weiter gehts

Man löse das Anfangswertproblem



Zunächst lösen wir die Gleichung



=



<=>



also insgesamt



für y heißt das



Jetzt ist c so zu wählen das y(e) = 1 ist.

c ist dann



Also insgesamt die Lösung



Ansich kann man DGL's prima selbst überprüfen aber ich bin recht sicher das soweit alles stimmt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze


also insgesamt




Wohl eher

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Lieblingsthema Big Laugh

Zitat:
Original von Mazze

Das stimmt nicht. Die Stammfunktion ist

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wuste es ^^

dann heißt das für y



Damit c das Anfangwertproblem lößt muss c = -1 sein. Fertig.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt Freude

Also noch schön geschrieben smile

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So nu steh ich zum ersten mal aufm schlauch

ich soll untersuchen ob folgende Funktion stetig ist oder nicht



Ich hab zwar bissel rumprobiert aber kam zu nichts. Die Sache ist ja das in meinen Beispielen die ich hier hab nicht einmal die direkte Definition verwendet wird. Und das Folgenkriterium zieht nur wenn man unstetigkeit zeigen will. Nur hab ich keine Folge gefunden für die die Funktion unstetig wäre. Jemand ne Idee?
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