Ungleichung beweisen - Methodenfrage
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18.07.2007, 21:17 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen - Methodenfrage
Hi,

mal eine allgemeine Frage. Wenn ich zeigen will, dass für alle x ist, dann kann ich mittels indirektem Beweis einfach versuchen die Aussage zu einem Widerspruch zu führen.
Ich beginne also mit

(edit: Hab den Teil rausgenommen, der hier nicht hinsollte Augenzwinkern )

Angenommen, ich kenne nun eine Eigenschaft , die sicher gilt. Darf ich die dann so einbauen (oder muss ich sie auch umkehren? Oder nichts von beidem?)



und reicht es dann (natürlich nach einigem umformen) zu einem Widerspruch in dieser "verketteten" Ungleichung zu gelangen? (z.B. in der Form 2 > 3 > 1)

Danke schonmal Wink

air
18.07.2007, 21:19 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Negation von ist .


Gruß, therisen
18.07.2007, 21:21 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, sorry, das sollte auch zur eig. Aussage kommen Big Laugh Werds eben editieren.

Mir gehts aber vor allem um den Punkt, ob und wie ich die Eigenschaft mit h(x) verwenden kann/darf. smile

air
18.07.2007, 21:22 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und reicht es dann (natürlich nach einigem umformen) zu einem Widerspruch in dieser "verketteten" Ungleichung zu gelangen? (z.B. in der Form 2 > 3 > 1)


Dann gilt aber die linke Ungleichung nicht Augenzwinkern
18.07.2007, 21:24 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:

Ja, die Frage ist ja, ob der Widerspruch in nur einem Teil der verketteten Ungleichung ausreicht smile

Es ist ja so, dass h(x) > f(x) > g(x) natürlich umgeformt wird. D.h. der Widerspruch 2 > 3 > 1 bezieht sich nicht darauf, dass 2 > 3 mit h(x) > f(x) zusammenhängt.

air
18.07.2007, 21:28 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist gefährlich, 3 Ungleichungen gleichzeitig (d.h. in einer Zeile) umzuformen. Der Widerspruch sollte dann außerdem in der gesamten Kette auftreten.
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18.07.2007, 21:34 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Es ist gefährlich, 3 Ungleichungen gleichzeitig (d.h. in einer Zeile) umzuformen.


Darf man fragen warum? Ob ich nun h(x) > f(x) > g(x) direkt umforme oder nebeneinander getrennt h(x) > f(x) und f(x) > g(x) verwende und immer die selben Umformungen mache kommt doch aufs selbe raus, oder?

Zitat:
Der Widerspruch sollte dann außerdem in der gesamten Kette auftreten.


"sollte" = "muss"? Das ist jedenfalls die "Kernfrage", um die es mir geht Augenzwinkern

air
18.07.2007, 21:58 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du bei und die exakt gleichen Umformungen durchführst, steht auf der rechten Seite der linken Ungleichung die linke Seite der rechten Ungleichung. Also muss die Ungleichungskette durchgehend sein.
18.07.2007, 22:03 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Also warum sollte es gefährlich sein, direkt h(x) > f(x) > g(x) zu verwenden? smile

Achja ... kann man eig. schließen, dass wenn die Umkehrung für alle x (also nicht nur für mind. 1) gilt, dass die eigentliche Aussage falsch ist? (Ich denke ja, denn ich kann den Ansatz ja enspr. andersrum starten)
18.07.2007, 22:11 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es fühlt sich einfach nicht gut an, genauer kann ich das nicht begründen Big Laugh

Wenn es für alle x gilt, dann ja erst recht für mindestens ein x Augenzwinkern
18.07.2007, 22:16 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Es fühlt sich einfach nicht gut an, genauer kann ich das nicht begründen Big Laugh


Aber es ist doch im Grunde nichts falsches daran, oder? smile

Zitat:

Wenn es für alle x gilt, dann ja erst recht für mindestens ein x Augenzwinkern


Moment, es is spät, ich muss mal eben meine Gedanken sortieren Big Laugh

Zu Beweisen: für alle x gilt f(x) <= f(x)
Negation: es gibt ein x mit f(x) > g(x), diese Aussage führt man zu einem Widerspruch und beweist so das zu Beweisende Augenzwinkern

Wenn es nun aber so ist, dass f(x) > g(x) tatsächlich für alle x gilt (kein Widerspruch!), so ist f(x) <= g(x) logischerweise falsch.

Mhm ... als ich das so notiert habe war mir klar, dass es auch so sein muss. Wenn f(x) > g(x) für alle x ist, dann kann f(x) <= g(x) schon garnichtmehr sein... Augenzwinkern

air

Edit:
Wie ist es nun eigentlich. Muss der Widerspruch über die komplette verkettete Ungleichung gehen (also z.B. 2 > 3 > 3) ? Oder reicht ein Widerspruch (2 > 3 > 1)? Und wenn einer nicht reicht, lässt sich aus 2 > 3 > 1 dann schließen, dass es keinen Widerspruch gibt?
18.07.2007, 22:21 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Mhm ... als ich das so notiert habe war mir klar, dass es auch so sein muss. Wenn f(x) > g(x) für alle x ist, dann kann f(x) <= g(x) schon garnichtmehr sein... Augenzwinkern


Big Laugh


Zitat:
Original von Airblader
Edit:
Wie ist es nun eigentlich. Muss der Widerspruch über die komplette verkettete Ungleichung gehen (also z.B. 2 > 3 > 3) ? Oder reicht ein Widerspruch (2 > 3 > 1)? Und wenn einer nicht reicht, lässt sich aus 2 > 3 > 1 dann schließen, dass es keinen Widerspruch gibt?


Jetzt kann ich doch begründen, warum es gefährlich ist. Der "Widerspruch" kann nämlich gar nicht eintreten, was dir klar wird, wenn du die Ungleichungen seperat umformst smile Das erste Ungleichheitszeichen wird immer korrekt sein.
18.07.2007, 22:58 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, verstehe was du meinst und hab auch meinen Fehler gesehen (böse, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert und nicht sieht, dass sie negativ ist... Big Laugh )

Nun, damit hat sich dann auch direkt alles geklärt smile

Vielen Dank Wink

air
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