Verständnisschwierigkeit bei Beweisen

19.07.2007, 05:18

phasellus

Verständnisschwierigkeit bei Beweisen

Hi!

Ich versuche mich gerade in die Zahlentheroie einzuarbeiten, scheitere jedoch schon bei den Grundlagen.

Ich habe dieses PDF (http://www.oemo.at/wiki/images/f/f5/Zahl...e_Heuberger.pdf) dazu gefunden und wollte es durcharbeiten.

Als erstes werden einige Sätze zur Teilbarkeit bewiesen.

Z. B. Satz 1.1.2:

a | b <==> a | -b

wird bewiesen durch:

aq = b <==> a * (-q) = -b <==> a | -b

(Für mich beweist der Satz nur, dass ich keine Ahnung habe. *g*)

Kann mir jemand die Aussage und den Beweis mal dazu in Worte fassen?

Warum die Aussage wahr ist, kann ich mir erklären, den Beweis nicht.

Speziell möchte ich wissen, was <==> zu bedeuten hat und wie das alles im Kontext zueinander steht.

Texte zu solcher Art von Beweisen würden auch nicht schaden. Ich hab leider keine gefunden, die mir diese Beweise von Anfang an erklären und wie man zu solchen Beweisen kommt.

Das wärs dann erstmal.

Schonmal vielen Dank!

Gruß,
Phasellus

19.07.2007, 08:28

klarsoweit

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RE: Verständnisschwierigkeit bei Beweisen

Zitat:

Original von phasellus
Speziell möchte ich wissen, was <==> zu bedeuten hat und wie das alles im Kontext zueinander steht.

Da muß man sich wundern, wie du bislang Mathematik betrieben hast, ohne dieses Symbol zu kennen? verwirrt

<==> bzw. $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ bedeutet "ist äquivalent zu".

Zitat:

Original von phasellus
Warum die Aussage wahr ist, kann ich mir erklären, den Beweis nicht.

Dann formuliere wenigstens mal deine Erklärung. Und was den formalen Beweis angeht, solltest du wenigstens sagen, was davon unklar ist. Oder fängt das Unverständnis schon mit der Aussage a*q = b an?

19.07.2007, 08:32

Airblader

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Geg.: $\begin{eqnarray*} a ~|~ b \end{eqnarray*}$ .
Zu Beweisen: $\begin{eqnarray*} a ~|~ b \Rightarrow a ~|~ -b \end{eqnarray*}$

Wenn b durch a geteilt wird, so gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \cdot q = b \end{eqnarray*}$ .
Dies multiplizierst du mit (-1) und erhälst: $\begin{eqnarray*} a \cdot (-q) = -b \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du, wenn du damit Probleme hast, einfach noch $\begin{eqnarray*} z = -q, z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ definieren. Also: $\begin{eqnarray*} a \cdot z = -b \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, da a mit einer ganzen Zahl multipliziert -b ergibt, dass a z-mal in -b passt, also $\begin{eqnarray*} a ~|~ -b \end{eqnarray*}$

Ist so mal ein wenig "einfacher" formuliert, denke ich

air

19.07.2007, 17:22

phasellus

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von phasellus
Speziell möchte ich wissen, was <==> zu bedeuten hat und wie das alles im Kontext zueinander steht.

Da muß man sich wundern, wie du bislang Mathematik betrieben hast, ohne dieses Symbol zu kennen? verwirrt

<==> bzw. $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ bedeutet "ist äquivalent zu".

Oh man, ich hätts mir denken können. Big Laugh

Hab bei Wikipedia auch noch diesen Artikel gefunden: http://de.wikipedia.org/wiki/Alphabet_%28Mathematik%29

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von phasellus
Warum die Aussage wahr ist, kann ich mir erklären, den Beweis nicht.

Dann formuliere wenigstens mal deine Erklärung.

Meine Erklärung:

Nehmen wir einfach mal beliebige Zahlen: a=2; b=4

Und zu beweisen gilt jetzt:

$\begin{eqnarray*} a ~|~ b \Leftrightarrow a ~|~ -b \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2 ~|~ 4 \Leftrightarrow 2 ~|~ -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q ~=~ 2 \Leftrightarrow q ~=~ -2 \end{eqnarray*}$

Und da q jeweils eine ganze Zahl ist, ist die Aussage wahr.

Zitat:

Original von klarsoweit
Und was den formalen Beweis angeht, solltest du wenigstens sagen, was davon unklar ist. Oder fängt das Unverständnis schon mit der Aussage a*q = b an?

Jetzt weiss ich schon selber nicht mehr, was daran unklar war. Für mich sah das einfach nur kryptisch aus und konnte es mir nicht erklären. Jetzt, nach euren zwei Beiträgen, ist alles klar. smile

Und das a*q = b konnte ich mir sogar schon erklären. Big Laugh

Zitat:

Original von Airblader
Ist so mal ein wenig "einfacher" formuliert, denke ich

Auf jeden Fall versteh ich es jetzt. *g*

Danke an euch beiden!

Gruß,
Phasellus

19.07.2007, 18:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von phasellus
Nehmen wir einfach mal beliebige Zahlen: a=2; b=4

Und zu beweisen gilt jetzt:

$\begin{eqnarray*} a ~|~ b \Leftrightarrow a ~|~ -b \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2 ~|~ 4 \Leftrightarrow 2 ~|~ -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q ~=~ 2 \Leftrightarrow q ~=~ -2 \end{eqnarray*}$

Und da q jeweils eine ganze Zahl ist, ist die Aussage wahr.

Bitte etwas Vorsicht mit mathematischen Aussagen. Die Aussage
$\begin{eqnarray*} q ~=~ 2 \Leftrightarrow q ~=~ -2 \end{eqnarray*}$
ist völlig falsch. Aus q=2 folgt nicht q=-2 und umgekehrt. Richtig hingegen ist die Aussage
$\begin{eqnarray*} 2 ~|~ 4 \Leftrightarrow 2 ~|~ -4 \end{eqnarray*}$
Denn wenn 2 Teiler von 4 ist, dann ist 2 auch Teiler von -4.
Und wenn 2 Teiler von -4 ist, dann ist 2 auch Teiler von 4.

19.07.2007, 20:04

Vieta

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ich finde den link echt genial thx smile