Polynome <=2 und deren Kern/Bild |
| 09.02.2005, 22:53 | MatheUphill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Polynome <=2 und deren Kern/Bild ich bin gerade dabei für meine Lin.-Alg.-Klausur in 2 Wochen zu lernen. Um meinen Kenntnisstand zu zeigen liste ich mal kurz auf, denn das Problem ist scheinbar gar nicht soo dolle. Jedoch hänge ich ein bischen fest: Z.B.: Durch den gauss algorithmus oder das lösen eines GLS entstehen nullzeilen, die bei einer n x n matrix die lin. abh. vektoren deuten. eine nullzeile=eine variable wählbar, 2=2 usw. dieser gewählte beliebige koeffizient kann dann mit dem passenden vektor aufgeschrieben werden und würde dann den lin abh. darstellen. die restlichen vektoren sind lin unabh. und die verbleibenden koeffizienten sind gleich null.. -sind bei nullzeilen einer matrix (ohne sie zu transponieren) die zeilen oder spalten lin. abh.? denn das führt mich auch zu meinem problem. laut aufgabenstellung sind wir im raum der polynome <=2 mit folgender vorschrift für die lineare Abbildung: L : R2[x] > R2[x] (x -> a*x^2 + b*x + c) |--> (x -> b*x + c) öhm, das ist gleichzeitig eine frage: laut lösungsblatt ist diese funktion weder surjektiv noch injektiv. jetzt ich: im voraus sieht man, dass durch die abbildung das polynom 2.grades verschwunden ist. also kann man die werte aus der abbildung bx+c nicht mehr auf auf das ausgangspolynom zurückführen. reicht das argument? mir fällt noch auf, dass sich die abbildung somit nicht mehr im R2[x] sein kann, weil sie kein Polyn. 2.Grades mehr besitzt. somit gäbe es keinen Wert aus b*x+c, der mindestens ein Element aus a*x^2+b*x+c besitzt... Das heisst, dass ich davon ausgehen muss, dass es sich hier um eine Ableitung handelt, bei der sich ja immer der Grad des Exponenten um (n-1) verringert. Wobei bei es bei der Ableitung 2*a*x+b heissen müsste. aber das sei wohl das gleiche prinzip?!? Zurück zur Abbildung. Also wieder R2[x] |---> R2[x] Wenn ich den Kern und das Bild zeigen soll, würde ich wie folgt vorgehen: Kern von x |---> b*x + c : da sich auch die Abbildung im Raum der Poly´s <=2 befindet, muss ich doch folgendes homogene LGS notieren: K:= koeffizient x1 für a 0 | 0 <zeile für polynom 2. grades für b 1 | 0 <zeile für polynom 1. grades für c 1 | 0 <zeile für polynom 0. grades = konstante a b und c sind ja unbekannt. muss ich die wie koeffizienten bei der koordinatenabbildung behandeln? in der hinsicht muss ich wohl noch trennen die gleichung für die dim des kerns lautet unbekannte - lin unabh vektoren. hier: 1-2= -1 
das geht schief. ich weiss zwar, dass ich bei der berechnung des kerns nach gauss rechne(das lgs löse), aber ich habe doch hier nur einen vektor, der schon unabhängige zeilen besitzt. und die unbekannte ist x1. wenn ich nach gauss löse erhalte ich 1. zeile 0 = 0 2. zeile 0 = 0 3. zeile 1 = 0 jetzt käme: 1 unbekannte - 1 lin unabh. vektor. = 0 das geht erst gar nicht *autsch* laut Lösung ist die Dimension des Kerns = -1 wenn ich das LGS auflöse erhalte ich für a € |R bel. , b=c=0. wie kann ich für a b und c werte erhalten, das lgs hat doch nur einen koeffizienten, nämlich x1 !?! aber die lösung des LGS ist dennoch im R2[X], da ich für a € |R bel. wählen kann...?!? Beim Bild das gleiche: Mein Algorhythmus aus dem skript lautet A wird transponiert (hier das LGS K) und dann nach auf ZSF gebracht. die zeileneinträge sind eine basis des Bildes: hier sind jetzt die polynomgrade die spalten: a b c (0 1 1) darf ich mir zuf hilfe die zeilen mit nullen auffüllen, so dass eine n x n matrix entsteht? das gleiche gilt für die berechnung des Kerns. weil hier würde, wenn ich die nullzeilen einführe die gleichung aufgehen. dann würde es heissen 3 unbekannte minus 1 lin unabh. vektor = dimension 2 a b c x1 0 1 1 x2 0 0 0 x3 0 0 0 zum schluss käme dann auch das ergebnis laut aufgabenstellung raus: die dimension des kerns (laut lösung = 1 ) + dimension des bildes(=2) ergibt 3. nämlich den raum. das stimmt. Das LGS des Bildes würde bei mir c und b € |R be. und a = 0 ergeben. Damit wäre das Bild im Raum der R1[x]. Ich hoffe, mein Problem ist ersichtlich. MfG, Norman |
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| 10.02.2005, 00:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich kämpf mich da mal schritt für schritt durch.... und bin da hängengeblieben.... (und weiter les ich jetzt erst mal nicht, danach geht's ja zuwas anderem über (kern etc); mit ableitung hat das nix zu tun übrigens) nachdem ich verstanden habe, was da da für eine abbildung sein soll.... öhm, naja.... versuche, dich etwas klarer auszudrücken..., was sollen z.b. diese rechtecksymbole da?!
öhm , du sagst nur, dass es nicht umkehrbar ist, also nicht bijektiv. aber eine nicht bijektive funktion kann trotzdem noch surjektiv oder injektiv sein, nur eben beides gleichzeitig nicht. das musst du in 2 schritten machen. warum die nicht injektiv ist, ist hier ganz einfach zu zeigen. aber wieso soll die nicht surjektiv sein?! das isse, außer ich habe sie doch nicht ganz verstanden... und das polynom 2. grades "verschwindet" da nicht.... mfg jochen |
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