Frage zum Volumen einen Körpers

10.02.2005, 12:27

Pionier

Frage zum Volumen einen Körpers

Servus, ich soll das Volumen des Körpers um die x-Achse brechnen.

Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{12x-12}{x²} \end{eqnarray*}$

hieraus habe ich folgende stammfunktion gemacht

$\begin{eqnarray*} [~ln(x)+ \frac{12}{x} ~dx]_{1}^4 \end{eqnarray*}$

dort kommt auch die richtige Fläche von 7,636 = A herraus

nun ist für das Volumen dies ja die Formel

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_{1}^{4}~(f(x))²~dx \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt einsetzte

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_{1}^{4}~(\frac{12x-12}{x²} )²~dx \end{eqnarray*}$

weis ich nciht wie ich diesen bruch auflösen soll?
bzw. das zu rechnen.

als volumen sollte 63,61 = V rauskommen, allerdings bekomme ich immer viel viel höere werte ?!? pls help!

10.02.2005, 12:44

iammrvip

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RE: Frage zum Volumen einen Körpers

Zitat:

Original von Pionier
$\begin{eqnarray*} [~ln(x)+ \frac{12}{x} ~dx]_{1}^4 \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion stimmt nicht. Du hast die 12 vergessen Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_{1}^{4}~(\frac{12x-12}{x²} )²~dx \end{eqnarray*}$

weis ich nciht wie ich diesen bruch auflösen soll?
bzw. das zu rechnen.

Du kannst den Bruch erstmal "zerlegen":

$\begin{eqnarray*} \frac{12x-12}{x^2} = \frac{12}{x} - \frac{12}{x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du quadrieren (auf die Binomische Formel achten!) und summandenweise Integrieren.

10.02.2005, 12:46

Pionier

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ja beim abtippen passieren Fehler, es muss natürlich 12*ln(x) heißen smile

Den rest mach ich gradmal

jupp Big Laugh

ich idiot, jetzt kommt das richtige volumen raus!!

hier zur vollständigkeit noch meine stammfunktion!

$\begin{eqnarray*} \pi*48*[-\frac{3}{x}+\frac{3}{x²} -\frac{1}{x³}]_{1}^4 \end{eqnarray*}$

Lösung

V=20,2500

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

10.02.2005, 12:57

iammrvip

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Japp, stimmt Freude

$\begin{eqnarray*} V = \frac{81}{4}\pi~({\rm VE}) \end{eqnarray*}$

gerundete Werte Kotzen

. Rechne einfach alles Zahlen die hinter $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ stehen zusammen (auch mit GTR) und klatsch danach das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dahinter. Dann hast du einen wunderschönen Wert Big Laugh

10.02.2005, 13:17

Pionier

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sorry wasn GTR ?
und wofür steht VE explizit?

musste mir das volumen selbst erlesen, haben das nciht besprochen, ist aber abiturrelevant

10.02.2005, 13:24

iammrvip

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Zitat:

Original von Pionier
musste mir das volumen selbst erlesen, haben das nciht besprochen, ist aber abiturrelevant

Das ist aber nicht sehr freundlich von eurem Lehrer....

Zitat:

sorry wasn GTR ?

ein grafikfähiger Taschenrechner = GTR

Zitat:

und wofür steht VE explizit?

Ich schreibe es immer in Klammern, da je nach Lehrer Einheiten angegeben werden oder nicht.

Einige Mathelehrer können es einfach nicht ersehen (meist praktisch veranlagte) wenn hinter Lösung keine Einheit steht. Da wir hier keine Zentimeter o.a. haben. Deshalb wählt man "unbestimmte" Einheiten. Also VE = Volumeneinheiten, FE = Flächeneinheiten, LE = Längeneinheiten.

Wenn ihr das aber nicht mitgeschrieben habt, kannst du es auch weglassen.

10.02.2005, 13:29

Pionier

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achso, ja ist klar dann

VE = cm³ z.b.
FE = cm² z.b.
LE = cm z.b.

smile

10.02.2005, 13:34

iammrvip

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Nein es ist nicht das gleiche!

Aber

Volumeneinheiten = Kubik
Flächeneinheiten = Quadrat

Ein anderes Beipiel:

Du sollst den Graph einer Funktion zeichnen, mit der Längeneinheit = 2cm. Also ist bei $\begin{eqnarray*} 2{\rm cm} \rightarrow x = 1 \end{eqnarray*}$

----------------------------------

Wenn du nun $\begin{eqnarray*} \frac{81}{4}\pi ({\rm VE}) \end{eqnarray*}$ raushast, heißt dies, dass sich das Volumen $\begin{eqnarray*} \frac{81}{4}\pi \end{eqnarray*}$ Einheiten hat. Es könnten Liter sein oder auch Kubikmeter, das hängt dann an Sachverhalten. Die Aufgabe ist aber abstrakt und nicht an einen solchen Sachverhalt geknüpft, deshalb lässt man die Einheit auch meist weg.

Nur einige Mathelehrer beharren darauf, deshalb wollte ich es erwähnt haben.

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