Gegeben ist die Aufgabe

10.02.2005, 12:42

Pionier

Gegeben ist die Aufgabe

Der Ursprung und der Hochpunkt der Kurve Kn sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für welches n>0 wird der Umfang des Rechtecks minimal?

Die Ortskurve ist $\begin{eqnarray*} \frac{12}{x²} \end{eqnarray*}$

Die Hochpunkte sind als $\begin{eqnarray*} HP(2n/\frac{3}{n²}) \end{eqnarray*}$
errechnet

die Formel für den Umfang:

U = 2x+2y
A = x*y

Gefordert: U = minimal
Gesucht: Der Wert für n = u minimal
Die Funktion ist unten gezeichnet!

Meine Lösung ist nun die Ableitung der Ortsschar

ich komme da dann auf

$\begin{eqnarray*} F'(x)=\frac{-24}{x³} \end{eqnarray*}$

für x = den Wert des Hochpunkt xes von n einsetzten.
der ist ja 2n

kommt man auf

$\begin{eqnarray*} F'(x)=\frac{-3}{n3} \end{eqnarray*}$

nun habe ich dies gleich U gesetzt und nach n aufgelöst

und als lösung erhalte ich |-1,4422|

Diesen Wert habe ich dann für den Hp eingesetzt und hab dort erhalten

$\begin{eqnarray*} HP(2,8845/1,4422) \end{eqnarray*}$ erhalten

dies nun in die Formel des Umfangs eingesetzt

U = 2*2,8845 + 2*1,4422
U = 8,6535

Ich habe nun eine Kontrolle gemacht in dem ich von 1-2 ne menge werte eisnetzte und komme auch wirklich dazu, das dies die richtige Lösung sein muss!!

Aber warum?

Hier noch ne Zeichnung der Funktion für 1 = n

10.02.2005, 12:59

iammrvip

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Warum so kompliziert verwirrt

Du weißt schon, dass der Umfang minimal werden soll. Dieser berechnet sich über

$\begin{eqnarray*} u(x,y) = 2x + 2y \end{eqnarray*}$

Jetzt ersetzt du einfach $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ und schon ist der Umfang nur noch von x abhängig. Danach setzt du einfach noch als Stelle x den Hochpunkt (der Funktion!) ein, also stehen nur noch "ns", und dann den gewöhnlichen Trott - fertig verwirrt

Es wäre vielleicht auch förderlich, wenn du die Funktion mal hinschreibst Augenzwinkern

10.02.2005, 13:05

Pionier

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DIe Funktion sit die gleiche wie drüben, blos eine Aufgabe vorher smile

also

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{12(x-n)}{n*x²} \end{eqnarray*}$

blos halt hier mit parameter

10.02.2005, 13:09

iammrvip

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Woll bloß wissen, dass du dich nicht beim Hochpunkt vielleicht verrechnet hast Augenzwinkern

.

Kannst du meine überlegungen nachvollziehen verwirrt

Ich komme auf einen anderen Wert, der auch positiv ist Augenzwinkern

10.02.2005, 13:11

Pionier

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ah ich sehe was du meinst, ja das hatte ich ja schon probiert.

dann erhalte ich dies

$\begin{eqnarray*} U=4n+\frac{6}{n²} \end{eqnarray*}$

danach die ableitung

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} U'=4-\frac{12}{n³} \end{eqnarray*}$

dies = 0

dann erhalte ich wiederum
$\begin{eqnarray*} <br /> x1/2= \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

nur ist dieser werd nciht kleiner als der andere??

1,7321 = Wurzel3

10.02.2005, 13:15

Pionier

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pls löschen, wegen dummheit

10.02.2005, 13:19

iammrvip

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Wenn du die 1. Ableitung nach n umstellst. kommst du zu

$\begin{eqnarray*} n^3 = 3 \end{eqnarray*}$

Jetzt ziehst du aber nicht die Quadratwurzel unglücklich

10.02.2005, 13:26

Pionier

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Zitat:

danach die ableitung

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} U'=4-\frac{12}{n³} \end{eqnarray*}$

ja öhm... hier stands ja auch... unglücklich

aber dann erhalte ich doch meinen wert für n mit

n = 1,4422??

$\begin{eqnarray*} n³=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3} \end{eqnarray*}$

da war ich wohl zu euphorisch

erhalte aber dann doch U = 8,6535??

10.02.2005, 13:37

iammrvip

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Japp.

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3] 3 \end{eqnarray*}$

Du musst auch noch die Art des Extrema nachweisen.

/edit: $\begin{eqnarray*} u \approx 8.65 \end{eqnarray*}$ simmt! sorry Schreibfehler

10.02.2005, 13:59

Pionier

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komisch für mich ist

$\begin{eqnarray*} U = 8,6535 \end{eqnarray*}$

woher kommt unsere differenz??

10.02.2005, 14:00

iammrvip

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Japp, stimmt Freude

$\begin{eqnarray*} u = 6\sqrt[3]3 \approx 8.65 \end{eqnarray*}$

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