DGL höherer Ordnung/ Komplexe Zahlen

20.07.2007, 16:15

Fletcher

DGL höherer Ordnung/ Komplexe Zahlen

Guten Tag,
es geht um folgende Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} y^{''''}+3y^{''}+2y'=x \end{eqnarray*}$

Also ich fange an mit der homogenen Lösung und bestimme dazu das char. Polynom

$\begin{eqnarray*} c^4+3c^2+2=0 \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen dieses Polynoms sind komplex und ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} c_{1/2}=\pm i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{3/4}=\pm i \sqrt{(2)} \end{eqnarray*}$

So und jetzt hänge ich ein bisschen, ich möchte nämlich in meiner Lösung die imaginäre Einheit loswerden, aber ich kann diese Eulersche-Formel mit komplexen Zahlen nicht anwenden:

Mein Ergebnis der homogenen DGL gewesen:

$\begin{eqnarray*} y(x)=D_1cos(x)-D_2cos(x)+D_3cos(sqrt{2}x)-D_4cos(sqrt{2}x) \end{eqnarray*}$

Das richtige Ergebnis der homogenen DGL lautet jedoch:

$\begin{eqnarray*} y(x)=D_1sin(x)+D_2cos(x)+D_3sin(sqrt{2}x)+D_4cos(sqrt{2}x) \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun: Wie wende ich die eulersche Formel und das Zeugs mit Imaginär- und Realteil komplexer Zahlen richtig an?

Danke sehr

PS: Mit der speziellen Lösung und der allg. Lösung habe ich keine Probleme, ich hänge nur an dem Schritt wie ich von

$\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ und von
$\begin{eqnarray*} e^{-ix} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$

20.07.2007, 17:22

sqrt(2)

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RE: DGL höherer Ordnung/ Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} y^{''''}+3y^{''}+2y'=x \end{eqnarray*}$

Also ich fange an mit der homogenen Lösung und bestimme dazu das char. Polynom

$\begin{eqnarray*} c^4+3c^2+2=0 \end{eqnarray*}$

Da schau nochmal drüber.

20.07.2007, 18:17

Fletcher

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Dat stimmt doch smile

20.07.2007, 18:56

sqrt(2)

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Also entweder muss es 2c lauten, oder in der DGL muss y statt y' stehen.

20.07.2007, 21:17

Fletcher

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Ja, ich war so auf das Polynom fixiert, es heißt in der Differentialgleichung y statt y', sorry, war ein tippfehler, aber mein problem existiert immer noch? Aber ich habe jetzt herausgefunden, dass ja die EW wie man sieht immer komplex konjungiert auftreten und deshalb kann man von der eulerfunktion dann imaginärteil und realteil heranziehen und deshalb kommt man einmal auf cos und einmal auf sin. Ist das richtig????

20.07.2007, 21:38

sqrt(2)

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Kurz kann man sagen: Ist $\begin{eqnarray*} e^{(\operatorname{Re}z+\mathrm{i}\cdot\operatorname{Im}z)x} \end{eqnarray*}$ Lösung einer homogenen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten, so spannen $\begin{eqnarray*} \cos(x\cdot\operatorname{Re} z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(x\cdot\operatorname{Im} z) \end{eqnarray*}$ einen Teilraum des Lösungsraums auf.

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