Funktion für Wasserstand

10.02.2005, 18:51

Gast

Funktion für Wasserstand

Es liegt ein Fass(Zylinder) auf der Seite, also so, dass es rollen könnte und wird von oben gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Nun soll man eine Funktion aufstellen, die die Wasserhöhe angibt...

$\begin{eqnarray*} V(Wasser)=h\cdot\frac{r^{2}}{2}(x-sin\ x) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Länge des Fasses ist, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Radius und $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi\alpha}{180°} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Winkel des Kreissegments am Mittelpunkt des Fassdeckels ist.

Das Volumen ist ja zur Zeit Proportional. Aber wie stelle ich eine Formel für die Höhe auf und dann die Funktion?

Ich wollte die Höhe erst mittels dem Integral über die verschobene Kreisfunktion lösen, aber konnte das Integral nicht lösen... unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_0^{a}\sqrt{r^{2}-(x-r)^{2}}dx \end{eqnarray*}$

Was soll ich tun?

10.02.2005, 19:01

Leopold

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Suchst du dieses hier?

10.02.2005, 22:43

Gast

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...nein, ich glaube, das meine ich nicht. Die Formel für das Wasservolumen eines Teilzylinders habe ich auch. Ich suche nach einer Funktion, die mir den Wasserstand(Wasserhöhe) bei konstanter Füllung angibt, in Abhängigkeit von der Zeit der Befüllung.
Also die Wasserstandshöhe über der Zeit aufgetragen... Das Volumen ist dabei zur Zeit proportional, denke ich...

10.02.2005, 22:51

Leopold

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Du kennst also das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von der Füllhöhe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} V = f(x) \end{eqnarray*}$

Und du kennst auch das Volumen in Abhängigkeit von der Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} V = g(t) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ deinen Angaben nach eine Proportionalität ist. Dann mußt du doch nur die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(t) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} x = (f^{-1} \circ g) (t) \end{eqnarray*}$

EDIT

Ich glaube, ich sehe jetzt das Problem. Das oben angesprochene Auflösen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geht algebraisch nicht. Ich schlage dir daher den folgenden Weg vor. Nimm Poffs Formel (er schreibt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , wofür ich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geschrieben habe, $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ist bei ihm die Länge des liegenden Zylinders). Gleichsetzen liefert:

$\begin{eqnarray*} V(h) = c \cdot t \ \ \text{mit } \ c = \text{Füllgeschwindigkeit} \end{eqnarray*}$

Das kannst du leicht nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auflösen, aber nicht explizit nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Wenn du dir eine genügend feine Tabelle aufstellst, in der du zu jedem $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ -Wert den zugehörigen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Wert berechnest, kannst du umgekehrt aus dieser Tabelle zu vielen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ -Werten den $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Wert entnehmen.

10.02.2005, 23:16

Gast

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okay, vorschlag:

$\begin{eqnarray*} V=g(h)=\left(r^{2}\cdot arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)-\sqrt{2rh-h^{2}}\cdot (r-h)\right)\cdot l \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} V=f(t)=M\cdot t \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} M=\frac{Fuellvolumen}{Zeiteinheit}=konstant \end{eqnarray*}$ ist.

Muss ich diese beiden Gleichsetzen und nach h auflösen?

10.02.2005, 23:23

Leopold

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Habe meinen Beitrag oben ergänzt.

10.02.2005, 23:31

Gast

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aja, ich verstehe, was du meinst... Auch wenn es nicht hundertprozentig zufriedenstellend ist, danke!

10.02.2005, 23:34

Leopold

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Hier ist einmal ein Hilfsmittel wie EXCEL angebracht. Damit hast du im Nu eine Wertetabelle mit hinreichend kleiner Schrittweite erstellt. Auch mit einem GTR kannst du leicht Wertetabellen erstellen.

11.02.2005, 15:40

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Hier ist einmal ein Hilfsmittel wie EXCEL angebracht. Damit hast du im Nu eine Wertetabelle mit hinreichend kleiner Schrittweite erstellt. Auch mit einem GTR kannst du leicht Wertetabellen erstellen.

und könnte in etwa so aussehen
werner

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