höhensatz

21.07.2007, 12:00

gabbo

höhensatz

hallo,
beweisen sie: unter allen umfangsgleichen rechtecken besitzt das quadrat den größten flächeninhalt. (beachten sie, daß beim höhensatz die hypotenuse des rechtwinkligen dreiecks mit dem halben umfang des rechtecks übereinstimmt.)

aha!, ich denke mal die zeichnung reicht nicht als beweis,

verwirrt

21.07.2007, 12:19

magneto42

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Etwas ähnliches war vor ein paar Tagen hier:

Größter Flächeninhalt

21.07.2007, 12:57

riwe

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RE: höhensatz

Zitat:

Original von gabbo
hallo,
beweisen sie: unter allen umfangsgleichen rechtecken besitzt das quadrat den größten flächeninhalt. (beachten sie, daß beim höhensatz die hypotenuse des rechtwinkligen dreiecks mit dem halben umfang des rechtecks übereinstimmt.)

aha!, ich denke mal die zeichnung reicht nicht als beweis,

verwirrt

im konkreten fall denke ich, geht es dann so:

$\begin{eqnarray*} U_{quadrat} = 4h = 4 \sqrt{pq}\leq 2(p+q)=U_{rechteck} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{pq}\leq\frac{p+q}{2} \end{eqnarray*}$

was ja für beliebige zahlen p, q stimmt, da links das geometrische und rechts das arithmetische mittel steht
(gleichheit für p = q).

wobei mir die lösung im link von magneto42 besser gefällt.

man kann natürlich auch lösen
$\begin{eqnarray*} A(p)=p(\frac{U}{2}-p)\to Max \end{eqnarray*}$

21.07.2007, 14:49

gabbo

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hm....
(beachten sie, daß beim höhensatz die hypotenuse des rechtwinkligen dreiecks mit dem halben umfang des rechtecks übereinstimmt.)

also mit rechteck ist wohl $\begin{eqnarray*} q*h \end{eqnarray*}$ gemeint, was dann bedeuten würde, daß $\begin{eqnarray*} \frac{h}{2}=p \end{eqnarray*}$ ist, oder`???

dann soll ich vergleichen?? $\begin{eqnarray*} A=q*h<A=(c+p)² \end{eqnarray*}$ ....?????

verwirrt

21.07.2007, 16:22

riwe

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im rechtwinkeligen dreieck gilt der höhensatz
$\begin{eqnarray*} h²=pq \end{eqnarray*}$
das heißt, dass das quadrat mit der seite h flächengleich ist dem rechteck mit den seiten p und q.
und jetzt zeigt man umgekehrt, dass unter allen flächengleichen rechtecken das quadrat das mit dem kleinsten umfang ist.
weiter wie oben.

21.07.2007, 18:02

magneto42

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Hallo gabbo.

Ich habe ein Bildchen angehängt, wie ich mir das Rechteck vorstelle.

Versuche mal die Gleichung von riwe nachzuvollziehen

$\begin{eqnarray*} A(p)=p \cdot \left(\frac{U}{2} - p \right) \end{eqnarray*}$

Das ist eine Parabel! Wann ist A maximal (Stichwort Scheitelpunkt)? Was gilt dann für p und q?

21.07.2007, 20:49

riwe

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und/oder bei gleichem A noch einmal zu:

$\begin{eqnarray*} U_{quadrat} = 4h \leq 2(p+q)=U_{rechteck} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2h\leq p+q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4pq \leq p²+2pq+q² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq (p-q)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(p-q)^2\to p = q \end{eqnarray*}$

25.07.2007, 11:05

gabbo

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so also,

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