Grammatrix

10.02.2005, 21:50	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
Grammatrix Hallo! Ich verstehe folgende Aufgabe, bzw. Lösung der Aufgabe nicht. Kann mir da jemand weiter helfen? Also die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie zu $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \epsilon \mathbb R ^{3x3} \end{eqnarray}$ eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} B \epsilon \mathbb R^{3x3} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} B^{tr}AB \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist. Der Lösungsvorschlag lautet wie folgt: Interpretiere A als Grammatrix $\begin{eqnarray} _S\Phi^S \end{eqnarray}$ einer symmetrischen Bilinearform $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ . Gesucht ist dann eine Basistransformation, die S in eine Orthogonalbasis überführt (Warum braucht man eine Orthognoalbasis und warum kann man Phi als Grammatrix interpretieren?) Da A nicht positiv definit ist, scheidet hier das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren aus. Wir verwenden stattdessen die (allgemeineren) Spalten-Zeilen-Umformungen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Umformung verstehe ich nicht. Ich habe es mit GAuss versucht, da komme ich aber nicht auf diese Umformung Interpretiere $\begin{eqnarray} B:= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , als $\begin{eqnarray} ^Sid^C \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} B^{tr}AB=_C \Phi^C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich wäre dankbar wenn mir einer mit meinen Fragen weiterhelfen könnte. Danke schonmal im Voraus!
10.02.2005, 22:17	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformungen, die gemacht werden sind die, die auch beim Gaußalgorithmus verwendet werden. Allerdings wir für jede Zeilenoperation dieselbe Spaltenoperation direkt danach ausgeführt. Wenn du also die erste von der zweiten Zeile subtrahierst musst du direkt im Anschluss die erste von der zweiten Spalte subtrahieren. Der trick ist, die Matrix durch die Einheitsmatrix zu erweitern und dann die Operationen so auszuführen, dass du eine Diagonal-Matrix erhälst.
11.02.2005, 09:13	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grammatrix Also ich habe das mal so versucht, komme aber trotzdem auf ein anderes Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (subrahiere 1.Zeile von der 2. und 3.) -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (subtrahiere 1. Spalte von der 2. und .3) -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (subtrahiere 2. von der 3. Zeile) -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (subtrahiere 2. von der 3. Spalte) -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Oder muss man das anders rechnen?

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