Eine Art Spirale berechnen

22.07.2007, 01:33

crypt

Eine Art Spirale berechnen

Hallo,
ich habe gerade durch Zufall eine Aufgabe gefunden, an der ich mir eine Weile die Zähne ausgebissen habe. Eigentlich würde mich nur interessieren, ob die Herangehensweise richtig ist und ob das Ergebnis stimmen kann. Die Aufgabe:

Zitat:

Eine Rolle WC-Papier besteht aus einer Papprolle mit dem Durchmesser von 4 cm. Die Blattdicke ist 0,2 mm. Welche Papier-Länge hat eine Rolle mit 100 Wicklungen? Das Einzelblatt hat eine Länge von 14 cm. Aus wie vielen Einzelblättern besteht die Rolle?

Länge:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2 \cdot \pi \cdot(\frac{4}{2})²) + (100-1) \cdot (2 \cdot \pi \cdot (\frac{4}{2}+0,02)²)}{100} \end{eqnarray*}$

Anzahl:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2 \cdot \pi \cdot(\frac{4}{2})²) + (100-1) \cdot (2 \cdot \pi \cdot (\frac{4}{2}+0,02)²)}{14} \end{eqnarray*}$

Länge: 25,6m
Anzahl: 182,85

Danke schon Mal im Voraus für eure Bemühungen smile

Gruß Robert

22.07.2007, 02:28

magneto42

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Wie ist denn Deine herangehensweise? Das kann ich aus Deinem Ergebnis nicht ersehen.

Mein erster Gandanke ist, daß die Wicklung einer Toipap-Rolle nach einer Archimedes-Spirale klingt:

$\begin{eqnarray*} r(\varphi) = R_0 + a \cdot \varphi \end{eqnarray*}$

Das Bogenelement ist dann

$\begin{eqnarray*} \dd s = r(\varphi) \, \dd \varphi = \left( R_0 + a \cdot \varphi \right) \, \dd \varphi \end{eqnarray*}$

Wenn ich das mit Deinen Vorgaben Ausrechne bekomme ich etwas anderes.

22.07.2007, 02:37

Zellerli

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Ich glaube das musst du etwas näher erläutern. Prinzipiell sind deine Ergebnisse nicht ganz unrealistisch.
Die Herangehensweise verstehe ich nicht, ich glaube deshalb nicht, dass sie stimmt.

Zur Länge:
Im ersten Summanden des Zählers berechnest du den doppelten Flächeninhalt des Kreises der Papprolle. Dazu addierst du 99 mal den doppelten Flächeninhalt der ersten Klopapierschicht um die Papprolle. Würdest du jetzt (was man in der Physik immer macht, in der Mathematik aber meistens nicht) Einheiten einsetzen, bekämst du als "Lände" einen Flächeninhalt... Ich bin etwas verwirrt.
Zuerst dachte ich, dass die Aufgabe mit einer Summe der einzelnen Schichten gelöst werden muss. Hast du vielleicht die Summenfolge schon aufgelöst? Ich kenne da nicht alle auswendig Augenzwinkern

Also bitte erkläre deine Lösung genauer.

Ansonsten empfehle ich das das ganze über Flächeninhalte zu lösen. Man muss sich die Klorolle so vorstellen, dass man genau auf den Kreis (also "durchs Loch") schaut. Dann hast du alle Daten um die Querschnittsfläche der Blätter zu berechnen. Diese Fläche entspricht dann der Querschnittfläche einer ausgerollten Klopapierstrecke mit der Länge x. Und diese Strecke hat die Anzahl der Blätter y.

22.07.2007, 12:34

crypt

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Ich bin davon ausgegangen, dass es eine arithmetische Reihe ist.

$\begin{eqnarray*} an = a1 + (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$

Dabei ist der Startwert (a1) gleich dem Startradius (Papprolle), die Anzahl (n) gleich die Anzahl der Wicklungen und der Anstieg (d) gleich jeweils der neue Radius um 0,2mm erhöht.

Am Ende hab ich die (theoretisch) die Länge in cm, welche ich auf m herunter breche bzw. die Anzahl der Blätter ermittel.

Gruß Robert

Edit: Eine Frage hätte ich bzgl. Latex an der Stelle noch: wie kann man Terme tief gedruckt darstellen?

22.07.2007, 13:30

magneto42

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Laß' mich mal zwei Ansätze vorführen.

Es sei

$\begin{eqnarray*} R_0 = 20\,mm \end{eqnarray*}$ Radius der Innenrolle
$\begin{eqnarray*} d = 0{,}2\,mm \end{eqnarray*}$ die Blattdicke

1) Berechnung über die Bogenlänge einer Spirale

$\begin{eqnarray*} \dd s = (R_0 + a \cdot \varphi) \dd \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \int_0^{100 \cdot 2\,\pi} (R_0 + a \cdot \varphi) \dd \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \left[R_0 \cdot \varphi + \frac{1}{2} \cdot a \cdot \varphi^2 \right]_0^{100 \cdot 2\,\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = R_0 \cdot \left(100 \cdot 2\,\pi\right) + \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(100 \cdot 2\,\pi\right)^2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a = \frac{d}{2\,\pi} \end{eqnarray*}$ (Pro Umlauf vergrößert sich der Radius um d):

$\begin{eqnarray*} L = \left(100 \cdot 2\,\pi\right) \cdot R_0 + 100^2 \cdot \pi \cdot d \end{eqnarray*}$

2) Berechnung über die Querschnittsfläche

Die Ringfläche ist:

$\begin{eqnarray*} A = \pi \cdot \left( R_0 + 100 \cdot d \right)^2 - \pi \cdot R_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \left(100 \cdot 2\,\pi\right) \cdot d \cdot R_0 + 100^2 \cdot \pi \cdot d^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt nehme ich das ausgerollte Toipap als Rechteck an:

$\begin{eqnarray*} A = L \cdot d \end{eqnarray*}$

Also erhalte ich wieder

$\begin{eqnarray*} L = \left(100 \cdot 2\,\pi\right) \cdot R_0 + 100^2 \cdot \pi \cdot d \end{eqnarray*}$

Beide Rechenwege liefern dasselbe Ergebnis.

Ausgerechnet ergibt das für die Länge 18,85 m und für die Anzahl der Blätter 135.

PS:
Subscripte werden mit "_{ }" erstellt, Superscripte mit "^{ }"

22.07.2007, 14:05

Zellerli

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Hey, Letzteres hab ich schon gebracht, du hast es nur übernommen und ausführlich vorgerechnet. Normalerweise macht man das mit den fertigen Lösungen gemäß unseres Prinzips nicht so.

Das mit der Reihe dacht ich mir fast, bin da nur wie gesagt nicht ganz fit im Auflösen Augenzwinkern

Ich glaube es spricht nichts dagegen, wenn du das über 100 Einzelringe aufziehst.

Nur beachte die richtige Formel für den Umfang: $\begin{eqnarray*} 2 \pi r \end{eqnarray*}$

Am besten du konstruierst du Formel nochmal Schritt für Schritt und kommentierst. So können wir den Denkfehler ausfindig machen.

22.07.2007, 14:36

magneto42

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Hallo Zellerli. Das Copyright für die Idee mit der Fläche gebührt sebtsverständlich Dir Wink

. Ich fand es halt nur hübsch, daß beide Ansätze zum gleichen Ergebnis führten. Und das mit dem ausführlichen Rechnen habe ich mal gemacht, da die Aufgabe offensichtlich for fun war und keine Hausaufgabe smile

. Ansonsten versuche ich mich natürlich die Boardregelnzu halten, keine Sorge Freude

22.07.2007, 14:48

Zellerli

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Das Urheberrecht hat mich immerhin 82€ gekostet! Wo ist mein Anteil an deiner Lösung?! Augenzwinkern

Ne kein Ding, aber wäre schlecht, wenn crypt jetzt die Motivation verliert, weil das Ergebnis schon da is. Sein Ansatz müsste nämlich auch zum Ergebnis führen. Und wenn der eigene Weg dahin führt, isses doch immer am schönsten. Big Laugh

22.07.2007, 16:08

magneto42

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Hallo Robert.

Ich habe mir Deinen Ansatz mit den Schalen noch einmal vorgenommen und ich bin Deiner Lösung so nahe, daß ich wohl Deine Denkfehler gefunden habe. Vielleicht solltest Du nocheinmal mit der Grundformel der arithmetischen Reihe beginnen:

$\begin{eqnarray*} a + (a + d) + (a + 2\,d) + \ldots + (a + n\,d) = \frac{n + 1}{2} \left(a + \left(a + d\,n \right) \right) \end{eqnarray*}$

Wobei Du ja nur bis (n - 1) gehst. Und wichtig: Beachte Zellerli's Hinweis über die Formel für den Kreisumfang!

Dein Ansatz ist sehr schön und führt (mit einer ganz kleinen Abweichung) zu der Lösung, die auch oben steht. Mach' unbedingt weiter und zeig' mal deinen Rechengang! Freude

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