Koordinate, Drehung, neue Koordinate

22.07.2007, 20:01

makko

Koordinate, Drehung, neue Koordinate

Das Problem wurde sicher schon einmal behandelt und ich bin sicher es hat was mit Vektorrechnung zu tun Big Laugh

Nur irgendwie komm ich nich drauf...

Folgendes:

Ich habe ein Objekt in einem 2D Koordinatensystem, welches aus 6 festen Punkten besteht. Anhand dieser festen Punkte werden zwei kubische Bézierkurven gezeichnet. Dadurch entsteht quasi eine kleine Fläche. Diese gezeichnete Fläche möchte ich nun um einen bestimmten Winkel drehen. Wie muss ich denn da mit den Koordinaten der Punkte verfahren um deren neue Positionen im Koordinatensystem zu erhalten, damit das Objekt (abgesehen von der Drehung) noch genauso aussieht wie vorher? verwirrt

Gruß, makko

22.07.2007, 20:04

tigerbine

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RE: Koordinate, Drehung, neue Koordinate
Um welchen Punkt wird gedreht?

http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

22.07.2007, 20:26

makko

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Ah, Drehmatrix, das sieht schonmal gut aus smile

Um einen Punkt der quasi der "Mittelpunkt" ist, die 6 ursprünglichen Koordinaten sind quasi an einer vertikalen durch diesen "Mittelpunkt" gespiegelt. Man kann also ein Kreuz dadurch zeichnen. Ich hatte die Zeit eben genutzt und hab das Problem mal etwas anschaulicher dargestellt (siehe Anhang).

Es wird quasi um Punkt $\begin{eqnarray*} P_C \end{eqnarray*}$ gedreht.

22.07.2007, 20:31

tigerbine

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Also eine Möglichkeit wäre es dann eben, diese Punkt als Ursprung zu wählen und die Punktkoordianten einmal umzurechnen. Dann kannst du die Drehmatrix nutzen.

22.07.2007, 21:09

makko

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Okay, also müsst ich alle Koordinaten so umrechnen als wäre $\begin{eqnarray*} P_C \end{eqnarray*}$ der Ursprung, soweit klar.

Nur bei der Drehmatrix steh' ich grad noch auf dem Schlauch:

$\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was genau ist R, bzw. was entspricht letzendlich diesen 4 Werten die ich da mit den Winkelfunktionen und alpha ausrechne?

Ich nehme an die linken hat was mit dem X-Wert zu tun und die rechten mit dem Y-Wert... aber was soll dann noch oben und unten? traurig

Bin echt verwirrt momentan, zuviel und zulange mit falschen Methoden an die Aufgabe rangegangen Big Laugh

22.07.2007, 21:13

tigerbine

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R ist eine Matrix, die eine Lineare Abbildung im R2 darstellt. Sie beschreibt ein Drehung um den winkel alpha um den ursprung.

Kannst du mit Matrizen rechnen?

[Workshop] Matrizen

22.07.2007, 21:26

makko

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Ja kann ich, hab auch grad die Lösung selbst gefunden Big Laugh

$\begin{eqnarray*} P_{\rm neu} = P_{\rm alt} * \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich ganz simpel.. ich sag ja ich hab mich zuviel von falschen Lösungsansätzen verführen lassen Augenzwinkern

Danke für die Hilfe und Geduld smile

22.07.2007, 21:28

tigerbine

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Was ist P? Die Koordinaten-Vektoren? Dann musst Du aber schreiben:

$\begin{eqnarray*} P_{\rm neu} = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot P_{\rm alt} \end{eqnarray*}$

22.07.2007, 21:47

makko

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Ja, genau. Das Sternchen sollte das Multiplikationszeichen sein.
Ist die Reihenfolge der Faktoren nicht egal?

22.07.2007, 21:54

tigerbine

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Diese Frage sollte jemand, der sich mit Matrizenrechnung auskennt eigentlich nicht stellen Augenzwinkern

22.07.2007, 22:31

makko

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Entschuldige die blöden Fragen traurig

Das ich mich damit auskenne sag ich garnicht, ich habe nur schon ein paar mal damit gerechnet Augenzwinkern

Das ist allerdings schon gut 5 Jahre her :\ Ich hatte eigentlich gehofft mit den entsprechenden Wikipedia Artikeln auch so zu einer Lösung zu kommen. Hab ich mich wohl geirrt... verwirrt

Deshalb nochmal für die ganz blöden makkos Big Laugh

Ist das denn korrekt so?

$\begin{eqnarray*} P_{\rm alt} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = 20° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{\rm neu} = \begin{pmatrix} 0.940 & -0.342 \\ 0.342 & 0.940 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.940 \cdot 50 & -0.342 \cdot 50 \\ 0.342 \cdot 30 & 0.940 \cdot 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 47 & -17.1 \\ 10.26 & 28.2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ja, wie bekomme ich daraus die x/y Koordinaten für $\begin{eqnarray*} P_{\rm neu} \end{eqnarray*}$ ?

22.07.2007, 22:58

tigerbine

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Ich hatte Dir ja schon unseren Workshop verlinkt. Dass Du das Thema "vergessen" hast, zeigt auch deine letze Frage. (Ist nach 5 Jahren keine Schande, nur eine Feststellung)

$\begin{eqnarray*} P_{\rm alt} = \begin{pmatrix} x_{alt} \\ y_{alt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun um 20° gegen den Uhrzeigersinn. Dazu die Matrix:

$\begin{eqnarray*} D= \begin{pmatrix} \cos(20°) & -\sin(20°) \\ \sin(20°) & \cos(20°) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.94 & -0.34\\ 0.34 & 0.94\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun eben die lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} P_{\rm neu} = \begin{pmatrix} x_{neu} \\ y_{neu} \end{pmatrix}= D\cdot P_{alt} \approx \begin{pmatrix} 0.94 & -0.34\\ 0.34 & 0.94\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.94 \cdot 50 - 0.34 \cdot 30 \\ 0.34 \cdot 50 + 0.94 \cdot 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}36.8 \\ 45.2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.07.2007, 23:48

makko

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Ah okay, das mit dem addieren hab ich mir schon gedacht, nur hat das Ergebnis keinen Sinn gemacht, wegen dem anderen Fehler Big Laugh

Vielen Dank nochmal smile

08.02.2008, 00:08

Mav

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Hallo,

gibt es eine Alternative zur Drehmatrix? Ich arbeite mir Java und dort mit der Klasse BigDecimal. Double kann ich nicht verwenden da zu ungenau. Ich müsste die Punkte verlustfrei drehen. Am besten ohne Trigonometrische Funktion.

Grüße, Mav

08.02.2008, 01:24

riwe

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Zitat:

Original von Mav
Hallo,

gibt es eine Alternative zur Drehmatrix? Ich arbeite mir Java und dort mit der Klasse BigDecimal. Double kann ich nicht verwenden da zu ungenau. Ich müsste die Punkte verlustfrei drehen. Am besten ohne Trigonometrische Funktion.

Grüße, Mav

ja irgendwas in der art.
aber irgendeinen winkel (und dessen funktionen unglücklich

....) brauchst halt immer unglücklich

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