Vermietungsproblem

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Torben Auf diesen Beitrag antworten »
Vermietungsproblem
Hallo Leute,

ich habe hier folgendes Problem. Bin leider nicht der super Mathematiker, der das vollständig selbst lösen kann, darum bitte ich hier um mir Gedankenanstöße zu holen. Möglicherweise existiert auch garkein Problem und ich sehe es nicht.

Angenommen jemand vermietet ein Zimmer an Touristen. Man weiß, wieviele Leute durchschnittlich im Jahr anfragen das Zimmer zu mieten. Man weiß selbsverständlich auch was die durchschnittlich angefragte Mietzeit ist. Dabei sollen keine Saisonalen Unterschiede existieren. Nun müsste doch irgeneine Grenzdauer oder Verhältnis existieren, unter dem eine Vermietung keinen Sinn macht. z.B. müsste man doch überlegen ob man einem für 15 Tage ein Zimmer vermietet, wenn im Durchschnitt die Leute 4 Monate bleiben. Würde man 15 Tage vermieten würde man sich ja ggf. die Möglichkeit vermasseln länger zu vermieten, wenn in der Zeit jemand kommen würde.

Es sind also drei Größen als gegeben zu betrachten (anhand von Beobachtungen in der Vergangenheit gewonnen)

1. Durchschnittliche Zeit zwischen zwei Anfragen
2. Durchschnittliche Zeit der Vermietung (bzw. der Anfragen auf Vermietung) (D)
3. Zeit der Kurzvermietanfrage (K)

Frage ist: solle man nun vermieten oder nicht? Dabei ist noch zu beachten, dass der Preis proportional zur Vermietzeit ist. Der Miettag kostet immer gleich, egal ob man einen Tag oder ein Jahr bleibt

Danach sollte man die Frage beantworten, bei welchem Grenz K oder welchem Verhältnis von D und K es gerade noch sinnvoll ist.

Bevor ich jetzt hier anfange alles was ich mir dazu überlegt habe mit Verteilungen, Erwartungswerten usw. möchte ich erst mal wissen, ob überhaupt ein lösbares Problem existiert. Wenn nicht kann ich mir das nämlich auch schenken

Vielen Dank für eure Hilfe

Torben
Torben Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hallo? Keiner? Arthur Dent??? Ich dachte, das waere was fuer dich?!?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Darüber, was eine Lösung ist, kann man sich bei Aufgaben, bei denen es um eine Modellierung aus der Praxis geht, trefflich streiten. Dabei gibt es drei Grundsätze:
1.) Irgendwas kann man eigentlich immer als Lösung anbieten.
2.) Der Nachfrager ist sogut wie nie mit der zuerst präsentierten Lösung zufrieden.
3.) Daran schuld ist selbstverständlich immer der Mathematiker, und nicht der "Kunde" der sein Problem viel zu ungenau spezifiziert hat.

Big Laugh

Ich würd bei der Aufgabe folgendermaßen rangehen, wobei du selber beurteilen mußt, inwieweit das Modell mit der Realität übereinstimmt. Annahmen versuche ich so weit wie möglich zu kennzeichnen. Der Mietpreis pro Tag sei o.B.d.A gleich 1.


Es kommt ein Kunde, der eine Kurzbuchung für k Tage buchen will.

Die Tatsache, daß von jetzt ab in den nächsten k Tagen genau ein (zwei, drei,...) Kunden kommen, wird meistens als Poissonverteilung modelliert. (Das ist eine Annahme).
Diese hat einen Parameter gamma, der ist gleich dem Erwartungswert von "Normalkunden", die in den k Tagen kommen. (Das ist ein mathematischer Fakt. Der Erwartungswert wird aber in der Regel aus einer Schätzung aus den vergangenen Daten gewonnen.). Der Parameter gamma sei jetzt bestimmt.

Du willst zunächst erstmal wissen, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, daß in den nächsten k Tagen KEIN Normalbucher mehr kommt. Dazu setzt du einfach 0 in deine Poissonverteilung, das Ergebnis ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeit, daß überhaupt wer kommt ist dann 1-p. Wenn jetzt mehrere "Normalbucher" kommen, dann wirst du den ersten annehmen. (Das ist wieder eine Annahme, zu den Problemen die daraus resultieren siehe unten). Für diesen hast du einen Erwartungswert E, wieviel Tage er bleiben wird, und wieviel Geld er dir damit bringt.

Du hast jetzt zwei Alternativen:
1.) Den Kurzbucher nehmen, der bringt dir K.
2.) Den Kurzbesucher wegschicken, dann hast du einen Erwartungswert von (1-p)*E

Wenn du jetzt risikoneutral bist (das ist wieder eine Annahme), dann brauchst du nur noch die Werte vergleichen.



Schwierig(er) wird das ganze eigentlich dadurch, daß es eigentlich keine strikte Trennlinie zwischen langen und kurzen Buchungen geben muß, eine solche aber angenommen wird. In dem Modell gibt es erstmal nur Kurzbuchungen, das sind die über die du nachdenkst, und "normale" Buchungen, das sind die für die du die Daten hast.
Es kann ja aber sein, daß mittendrin einer mit einer Anfrage für eine mittellange Dauer kommt, was dich wieder zum überlegen bringt usw.
Wenn du nicht mehr streng zwischen lang und kurz unterscheiden willst, sondern ganz allgemein wissen, ab wann es sich lohnt jemand anzunehmen, dann scheint mir das viel komplizierter zu sein.

Es ist also erstmal nur ein erstes Modell, was seine Macken hat.
Was zum Beispiel außerdem nicht bedacht ist: Wenn du eine Kurzbuchung annimmst, kann es ja sein, daß du dadurch einen kommenden Normalbucher abweisen mußt, dein Objekt nach dem Kurzbucher frei ist, und du dadurch einen weiteren Normalbucher gewinnen kannst, der sehr lange bleibt, und den du sonst hättest abweisen müssen. Der Kurzbucher ist also in Wahrheit etwas mehr wert als die k Tage, die er bezahlt.


Wenn ich das allgemeine Problem wirklich praktisch lösen müßte, also die Frage ab wieviel Tagen generell bei bestimmten Parametern man eine Buchung annehmen sollte, würde ich mir eine kurze Monte-Carlo-Simulation schreiben, statt so eine exakte Modellierung in sämtlichen Details (die sich dann am Ende ncihtmal vernünftig durchrechnen läßt) anzustreben. Das kostet nur einen Bruchteil der Zeit und liefert annehmbare Ergebnisse.
(Natürlich nur, weil das Problem an sich ungefährlich ist, und es um nix weiter als um eine gute Daumenregel geht. Wenn es stattdessen um die Frage "AKW-Reaktor kühlen oder nicht?" geht, sollte man solche Tools eher nicht so bedenkenlos einsetzen, sondern das ganze sauber aufziehen :hammersmile
Torben Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tomtomtomtom,

Danke fuer die ausfuerliche Antwort. Eigentlich ist das Problem naturlich komplizierter und es geht um betraechtliche Betraege. Es sollte schon so exakt wie moeglich sein. Eigentlich sind mehr als 1 Zimmer vorhanden, der Mietpreis ist nicht immer gleich (also ein Tag kostet weniger, wenn laenger gemietet wird) und es handelt sich um einen risikoaversen Vermieter der eine Nutzenfunktion mit einem im Geld fallenden, positiven Grenznutzen besitzt, wobei die passende Nutzenfnktion noch nicht genau spezifiziert werden kann.

Ich denke es macht Sinn erst einmal das Grundproblem zu loesen und nachher zu erweitern.

Ich hab mir bis hierher eigentlich mehr oder weniger das selbe ueberlegt wie du.

Folgende Variablen:

- t - betrachteter Zeitraum
- d - durchschnittliche Mietdauer, (bzw. durchschnittlich angefragte
Mietdauer)
- k - Kurzmietdauer
- N - Anzahl der Mietanfragen in T (Zufallsvariable)
- V_t - vermietete Zeit in t (Zufallsvariable)

N sei Poissonverteilt mit Lambda. (Lamba = durchschittliche Anzahl der Mietanfragen in t) =n/t

Ansatz: Ab welchem K wird E(V_k + V_(t-k)) > E(V_t). Wobei E(V_k)=k nicht vom zufall abhaengt.
Wenn man das vereinfacht komm ich nachher auf: k>E(V_k). Also wenn k laenger ist als die erwartete Vermietete Zeit, bei Nichtannahme von k. E(V_k) ist ja nun ein k-tel von E(V_t), E(V_t) = E(N)*d also ist E(V_k)=1/k*E(N)*d= 1/k*lambda*d

Daraus wuerde folgen: k>sqrt(lamda*d)

1. Wieso ist das anders, als das was du gemacht hast? hab ich irgendwo einen Denkfehler reingebaut?

2. Diese Loesung beruecksichtigt nun nicht, dass auch durch Annahme eines normalen Buchers die die Moeglichkeit auf Vermietung in diesem Zeitraum genommen wird. Hier komm ich nicht mehr weiter. Ich behaupt einfach das der Erwarungswert E(V_t)=E(N)*d ist, was falsch ist. Denn wenn jede Woche eine Anfrage fuer einen Monat Miete kommt, kann ich ja, wie du schon sagst nur den ersten annehmen. Wie kann ich das korrekt formalisieren, wie berechne ich den korrekten Erwartungswert von V_t?

nochmal Danke!
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bezeichnungen sind verwirrend, du bezeichnest irgendwie mehrere Sachen durch dieselben Variablen.

Aber wenn ich über das allgemeine Problem nachdenke: Es wird nicht reichen, den Erwartungswert der Vermietungsdauer zu kennen, wenn ein zufälliger Kunde kommt, du wirst schon die Verteilung brauchen.

Du suchst erstmal (bei Risikoneutralität und konstantem Mietpreis) ein k mit:

k<E("Lehne ab und warte auf einen Kunden, der mindestens k+1 Tage bleibt")
-> bis zu diesem k wird abgelehnt

k+1>E("Lehne ab und warte auf einen Kunden, der mindestens k+2 Tage bleibt")
-> ab diesem k+1 wird angenommen.

(Wobei ich denke, daßes auch Fälle gibt, in denen so ein k gar nicht existiert, also man immer nehmen sollte, was kommt. Zum Beispiel wenn die Nachfragen sehr selten sind.)


Erstmal brauchst du die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kunde kommt der k+1 Tage bleibt. Und dann brauchst du den Erwartungswert, den dir dieser Kunde bringt, um ihn mit der Wahrscheinlickeit zu multiplizieren. Das Problem: Das ist ein bedingter Erwartungswert, denn du weißt ja schon, daß er k+1 Tage bleibt, und damit ist der Erwartungswert, den er dir bringt, was anderes als der Durchschnitt der Buchungen, die du sonst hast.. Und diesen bedingten Erwartungswert brauchst du für jedes k, oder zumindest für viele. Ohne die Verteilung zu kennen wirst du also imho nicht weit kommen.


Bleiben immer noch mehrere Probleme, erstmal das wesentliche, daß jedes Warten auf jemanden der länger braucht auch Buchungskapazität nach den k Tagen sperrt. Und dann die angesprochenen Verallgemeinerungen.

Wie gesagt, ich würds einfach mal "experimentell" mit einer Computersimulation versuchen. Das klingt schlimmer, als es ist.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Anderes Modell:

Du hast gegeben:
* die Ankunftszeiten modelliert durch einen Poissonprozess mit Parameter gamma
* die Verteilung der Mietdauer (nicht nur den Erwartungswert)

Sei k ein Parameter. Er bezeichnet die Strategie, alle Vermietungsdauern unter k abzulehnen, und die mit mindestens k anzunehmen.

Die grundlegende Idee besteht darin, daß man einen "Schritt" betrachtet, der aus dem Warten auf einen Kunden, der mindestens k Tage bleibt, und dem nachfolgenden abwarten der Mietdauer besteht. Was du willst ist für diesen Schritt den Erwartungswert von (Einnahme/Schrittdauer) zu berechnen. Anschließend suchst du dir das k aus, für das dieser Erwartungswert am größten ist, denn je mehr Geld pro Zeit, desto besser. Da damit dann alle von dir vorgegebenen Strategien abgedeckt sind, ist das Problem gelöst, ganz ohne Überlappungen und ähnliches.

(Das funktioniert deswegen, weil die Verteilung, die dir sagt, wieviel Zeit bis zum nächsten Kunden vergeht, eine "gedächtnislose" Verteilung ist, d.h. es ist egal, zu welchem Zeitpunkt du startest, die Verteilung der Wartedauer ist immer gleich (wenn die Ankunftszeiten durch einen Poissonprozess modelliert sind). Genauer handelt es sich um eine Exponentialverteilung, deren Parameter derselbe wie der der Poissonverteilung ist.)

Die Zufallsgröße "Einnahme" ist eine bedingte Zufallsgröße, die du aus der Verteilung der Zufallsgröße "Mietdauer" ableiten kannst. "Vergiss" einfach die Ereignisse wo ein Mieter weniger als k Tage bleibt und renormiere die restlichen so, daß die Summe der Warhscheinlichkeiten wieder 1 ergibt.

Die Zeitdauer ist ebenfalls eine Zufallsgröße. Sie besteht aus 2 Summanden:
1.) Die Zufallsgröße die dir sagt, wieviele Kunden in einem Intervall kommen die mindestens k Tage bleiben wollen ist (wenn ich mich nicht vertue) ebenfalls wieder Poissonverteilt, der Parameter müßte sich aus der Verteilung der Mietdauer und der ursprünglichen Poissonverteilung berechnen lassen. Analogs gilt dann für die Exponentialverteilung der Wartedauer, die du brauchst.
2.) Dazu kommt als Summand noch eine bedingte Zufallsgröße die die Mietdauer unter der Bedingung beschreibt, daß der Mieter mindestens k Tage bleibt. Die läßt sich wieder einfach durch Einschränkung und Renormierung bestimmen, siehe oben.



Und dann muß man halt den Quotienten und dessen Verteilung bzw. Erwartungswert ausrechnen. Das ist unangenehm und sei dir als Übungsaufgabe überlassen. Big Laugh

(Näherungsweise kannst du auch einfach den Quotienten der Erwartungswerte berechnen. Aber das wird im allgemeinen halt falsch, weil die betrachteten Zufallsgrößen sicher nicht unabhängig sind. Sieht man ja schon an der Modellierung. )
 
 
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