Gfs in Mathe |
| 11.02.2005, 13:34 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gfs in Mathe Also bei uns in der Schule wurde Gfs eingeführt.Das gibt den Schülern eine Möglichkeit zusätzliche Leistungen zu einem Fach zu bringen.Gfs soll eine Art Referat sein das ungefähr 15-20 min dauern.Ich habe mich entschlossen eine Gfs in mathe über das Pascalsche Dreieck zu machen.Und ich habe das Gefühl,dass es mir an Inhalt mangelt.Ich wollte euch fragen was es sinnvoll wäre noch in die GFS einzubauen.Hier ist meine Gfs - 1.Pascal Blaise Als Pascal Blaise,im Jahr 1662,im alter von 39 Jahren starb,war er schon als ein französischer Mathematiker und Naturwissenschaftler sehr bekannt. Pascal Blaise ist mit Forschungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung,Entdeckung des Gesetzes der kommunizierenden Röhren und dem Nachweiß mit Hilfe eines Barometers, dass der Luftdruck bei steigender Höhe abnimmt,sehr berühmt geworden. Außerdem hatte er die erste Rechenmaschine entwickelt, die tatsächlich funktionierte. 2.Das Dreieck und seine Funktion Das Pascalische Dreieck ist dazu da,um schnell beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren.Also zur Bestimmung der Köifizienten bei Binomen.In der Mathematik ist ein Koeffizient (v. lat.: coefficere = mit bewirken) ein multiplikativer Faktor, der zu einem bestimmten Objekt, wie einer Variable oder einem Basisvektor gehört. Der Rand des Pascalschen Dreiecks erhält immer den Wert 1.Ausgehend von der ersten Zeile des Dreieckes,können neue Dreieckzeilen,im Inneren des Dreiecks erzeugt werden.Das heißt,dass alle Zahlen außer der Dreieckspitze,aus der übergeordneten Zeile ermittelt werden.Und in jeder weiteren Zeile,erhält eine Dreieckzelle mehr.Nach dem Chema entsteht ein Dreieck.Die Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, 15...) sind in einer der dritten "Diagonalen" des Dreiecks zu finden. Also a hat den Wert 1.Und b hat ebenfalls den Wert 1.Nun können wir prüfen,ob die Zeilen unseres Dreiecks auch stimmen!Nehmen wir an,wir haben in der 2ten Zeilen ein Fehler gemacht.So finden sich die Köffizienten in der zweiten Zeile. Habe ich vielleicht irgendwo Fehler drin? Bitte unterstützt mich,denn ich muss meine Gfs bald halten. Rechtherzlichen Dank für die Aufmerksamkeit. |
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| 11.02.2005, 14:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vorsicht mit solch allgemeinen Behauptungen! Ohne genauer zu sagen, was für eine Art Rechenmaschine das war und was sie leisten sollte, ist diese Behauptung nicht zu halten.
Vielleicht ist das nur ein Schreibfehler. Ich will nur vorsorglich darauf hinweisen: In Koeffizient spricht man o und e nacheinander aus und darf das nicht zu ö zusammenziehen. Den additiven Aufbau des Zahlendreiecks mußt du genauer erklären. Ferner könntest du noch darauf verweisen, daß man diese Zahlen auch multiplikativ definieren kann (Fakultäten) und daß sie Anwendung in der Kombinatorik finden (Ziehen aus einer Menge mit einem Griff ohne Berücksichtigung der Reihenfolge). Es heißt übrigens auch "Pascalsches Dreieck", nicht "Pascalisches Dreieck". Und wenn du ein Skript an deine Mitschüler verteilst, so überprüfe zuvor noch einmal deine Rechtschreibung. Du hast da oben ein paar dicke Hämmer drin. (Tip: Laß das Skript von einem anderen durchlesen. Die eigenen Fehler überliest man selbst gerne.) siehe auch hier |
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| 11.02.2005, 15:19 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke Leopold für den link zu den binomischen lehrsatz!Jetzt ist mir einiges klar geworden! was mir jedoch problem bereitet ist das Verständniss dieses Koeffizienten!!!Würdest du mir das bitte erklären Leopold?Soweit ich das verstanden habe ist es so a= 1 b=1 Zweite zeile= (a+b)^2 = 4 Summe der zahlen in der 2 zeile = 4 
bei wikipedia hab ich auch schon 400 mal durchgelesen aber wenig draus gelernt! |
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| 11.02.2005, 15:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du bringst hier einiges durcheinander. Die Koeffizienten sind nur die Vorfaktoren, die beim Auspotenzieren eines Binoms entstehen: n = 1: (a+b) = 1·a + 1·b n = 2: (a+b)² = 1·a² + 2·ab + 1·b² n = 3: (a+b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³ Wenn man nun diese Koeffizienten addiert, so erhält man Zweierpotenzen: n = 1: 1 + 1 = 2 n = 2: 1 + 2 + 1 = 4 = 2² n = 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³ Warum das so ist, wäre noch zu begründen. Arbeite den von mir angegebenen Link noch einmal genau durch. |
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| 12.02.2005, 12:15 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ALso ist das Dreieck zur bestimmung der VORFAKTOREN bei Binomen da stimmts? Leopold wofür steht das n=1 ? zeile 1? oder a=1 |
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| 12.02.2005, 16:13 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kk schon verstanden |
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| 15.02.2005, 16:43 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leute!Morgen ist es so weit! Ich verstehe alles einiger Maßen aber eine Frage bleibt mir offen - Wie mache ich das - Berechne mit dem PASCALschen Dreieck die Potenzen (a + b)^6 Mir ist klar dass ich bei der 6ten Zeile schauen muss und dann? |
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| 15.02.2005, 16:45 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann die Zahlen in der 6. Zeile als Koeffizienten verwenden. Schau dir doch nochmal an, was Leopold geschrieben hat. Gruß, Thomas |
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| 15.02.2005, 16:52 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So : (a+b)^6 a^6 + 6a+ 15 a +20ab + 15 b + 6b + b^6 ???? |
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| 15.02.2005, 16:53 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau dir nochmal die Potenzen an. Es gibt ja mehr als ein a^6 - wo sind die a^5? Probier doch mal einfach das manuelle Multiplizieren, dann kommst du drauf. Also nacheinander (a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b) Gruß, Thomas |
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| 15.02.2005, 16:56 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a^6 + 6a^5+ 15 a^4 +20ab^3 + 15 b^4 + 6b^5 + b^6 SO? 
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| 15.02.2005, 17:16 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
schau mal - wenn es heißt (a+b)^4. Die 4te zeile heißt ja 14641 Muss es nicht so sein - a^4+4a^3+6a^2b^2+4ab^3+b^4 |
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| 15.02.2005, 17:23 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und jetzt nochmal zum anderen - Zeile 6... 1a^6+6a^5b+15a^4b+20a^3b^3+15ab^4+6ab^5+1b^6 |
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| 15.02.2005, 17:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@safin: bitte vermeide diese vielfachposts du kannst editieren mfg jochen |
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| 15.02.2005, 17:55 | Denjell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so muss es richtig heissen: 1a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+1b^6 vll hilft das ja fürs verständnis: 1*a^6*b^0 + 6*a^5*b^1 + 15*a^4*b^2 + 20*a^3*b^3 + 15*a^2*b^4 + 6*a^1*b^5 + 1*a^0*b^6 nu mach mal fix noch (a+b)^5 oder (a+b)^7, dann sehen wir ja ob dus endgültig verstanden hast MfG |
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| 15.02.2005, 21:34 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2+b^3+ 5ab^4 + b^5 |
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| 15.03.2005, 18:45 | Safin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Leute,ich weiß,dass das thema schon alt ist,aber ich wollte mich trozdem noch für eure Hilfe bedanken! Thomas & LOED kriegen einen extra Dank! Ich hab die GFS gehalten und keine schlechte Note bekommen! 
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| 15.03.2005, 18:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
den dank gebe ich an leopold weiter... den hattest du wohl fälschlicherweise an mich statt ihn gerichtet! mfg jochen |
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| 10.07.2006, 21:08 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| pascalsches dreieck ich hab eine kurzr frage: wie ist die lösung von der aufgabe (8a+6b)*6 ? wie erklärt man wie die hochzahlen angeordnet sind? ich würde mich über eine antwort sehr freuen wiel ich das ganz dringent für meine gfs brauche! danke ataa |
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| 10.07.2006, 21:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso zweimal der gleiche Post? ich habe einen gelöscht. Was hat das mit dem Pascaldreieck zu tun? Meinst du wirklich (....) MAL 6 oder doch eher HOCH? |
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| 11.07.2006, 21:37 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein ich meine die aufgabe (8a + 6b)hoch4 ! wie erklärt man wie die hochzahlen angeordnet sind? ich würde mich über eine antwort sehr freuen wiel ich das ganz dringent für meine gfs brauche! danke ataa |
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| 11.07.2006, 22:08 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich weiß nicht ganz, was du mit Anordnung meinst.... Du hast hier eine allgemeine Form von . Das gibt eine Summe von u-v-Potenzen, ausgehend von "irgendwas*u^n*v^0" bis runter zu "irgendwas*u^0*v^n". Dazwischen wird je die u-Hochzahl immer um eins erniedrigt, die v-Hochzahl um eins erhöht. Also: Die Koeffizienten .... findest du dabei aus dem Pascalschen Dreieck. In deinem Fall ist n=4, u=8a, v=6b. Die Potenzen sind: und die zugehörigen Koeffizienten aus dem Pascaldreieck (der Reihe nach): 1,4,6,4,1 edit @PN: jetzt erst gelesen, bitte nicht stressen, sondern Geduld haben |
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| 11.07.2006, 22:12 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey danke! das hab ich so ungefähr verstanden! kannst du mir erklähren wie man die aufgabe (8a+6b)hoch 4 ausrechnet? ich hab es oft versuch aber das stimmt dann nicht mit dem pascalischen dreieck überein! |
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| 11.07.2006, 22:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Koeffizienten stehen ja oben: das ist die vierte Zeile (wenn man die einzelne 1 oben als nullte Zeile zählt) des Dreiecks: Die 4. Zeile sieht ja so aus: 1 4 6 4 1 soweit einig? Einfach einsetzen, ich machs nochmal in Schritten: soweit nur die Potenzen. Koeffizienten eingesetzt aus dem Dreieck wäre das dann: Das kannst du jetzt noch weiter ausrechnen, z.B. usf. |
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| 11.07.2006, 22:31 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jaaaaaa jetzt hab ich es (glaube ich), kommt als antwort: "8a hoch 4+ 192a³b + 288a²b² + 192ab³ + 6b hoch 4" raus? funktioniert das immer nach dem gleichen prinzip? ich bin dir echt dankbar für deine hilfe! könntest du noch kurz schauen ob ich einen fehler in meinem handout hab? (das hat sich jetzt alles ein weinig verschoben) Handout Pascalsches Dreieck Aufbau des Pascalschen Dreiecks: Das Dreieck ist so aufgebaut das jeweils immer die Ziffer 1 am Rand steht. Die Zahlen sind im Dreieck derart angeordnet, dass der untere Eintrag die Summe der zwei darrüberstehenden Einträge ist. Bekannte Aufgabe (Binomische Formel): (a+b)² = a² + 2ab + b² Beispiel: (a + b)3 Vorüberlegung: 1 3 3 1 ßZahlen im pascalschen Dreieck a³ a² b a b² b³ ß Potenzgrad Lösung: a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 Beispielaufgabe: (8a + 6b)4 = Lösung: Weiterführende Aufgabe: (a-b)6 Gedankenstütze: Das erste Glied der Summe bekommt ein "+", das zweite ein "–", das dritte ein "+" und so weiter, immer "+" und "–" im Wechsel. Lösung: (a – b)6 = a6 – 6 a5 b + 15 a4 b2 – 20 a3 b3 + 15 a2 b4 – 6 a b5 + b6 |
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| 11.07.2006, 22:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt nicht ganz deine Rechnung, du musst die Zahlen auch potenzieren! Wie schon gesagt isz (8a)^4 NICHT 8*a^4, sondern 8^4*a^4=4096a^4, 8 auch hoch 4 nehmen! Und z.B. ist , also Nochmal ran, diesmal die Zahlen nicht vergessen! Zu deiner Gesamtsache: interessant wäre ja auch noch, WARUM sich das mit den Vorzeichen so verhält. |
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| 11.07.2006, 22:54 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso ich dachte man muss 4(8*6) rechnen. wenn man "4*8*6" rechnet kommt "192" raus,aber du hast gesagt es kommt "12288a³b " raus. ich hab das jetzt immer noch nicht verstanden. ok ich denke die aufgabe ist ein wenig zu schwer für meine mitschüler! zum handout, ja ich werde das auf meiner folie erklähren. ich hoffe es macht dir nichts aus áuch meine folie duchzusehen. Das pascalische Dreieck 1. Aufbau des pascalischen Dreiecks (dreieck) 2. Anwendung: n = 1: (a+b)n = 1·a(n-0) + 1·b(n-0) n = 2: (a+b)² = 1·a(n-0)=2 + 2·a(n-1)=1 b(n-1)=1 + 1·b(n-0)=2 n = 3: (a+b)³ =1·a(n-0)=3 +3·a(n-1)=2 b(n-2)=1+ 3·a(n-2)=1 b(n-1)=2 + 1·b(n-0)=3 die zahlen in klammern sind die hoch zahlen Achte auf die Potenzzahlen: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 Ý Ý Ý Ý (das sollen pfeile sein) a² ; a ;b ; b² (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3a b2 + b3 Ý Ý Ý Ý Ý Ý a³ ; a² ; b; a; b²; b³ ich werde alles noch nebenbei mündlich erläutern |
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| 11.07.2006, 23:20 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi ataa, du kannst: 1.) Den "Edit"-Button drücken, um deine Nachricht zu ändern, 2.) die -Tags (Formeleditor) für deine Mathematischen Ausdrücke nutzen, Außerdem heißt der Gute Blaise Pascal, nicht "Pascal Blaise": Wiki-Eintrag grüße zweiundvierzig |
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| 11.07.2006, 23:44 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du hast doch nicht nur 4*8*6, sondern die 8 wird doch hoch 3 gerechnet! Du hast doch (u+v)^4 mit u=8a also musst du, wenn die Formel u^3 vorschreibt auch das ganze ^3 nehmen. (8a)^3 ist NICHT 8*a^3, sondern 8^3*a^3, die 8 will auch noch ^3 genommen haben. und dann hast du nicht 4*8*6, sondern 4*8^3*6=4*8*8*8*6 |
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| 12.07.2006, 14:24 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah danke ich glaub ich hab es jetzt verstanden! ich bin mir jetzt nicht sicher ob ich die erste und die letzte zahl auch *3 machen muss oder ob ich da einfach nur 3a^3 schreiben muss! sind die lösungen richtig? (3a+5b)^3 = 27a^3 + 135a^2 b + 225a b^2 + 125b^3 und hier dann *4 (2a+4b)^4 = 16a^4 + 128a^3 b + 384a^2 b^2 + 512a b^3 +256b^4 |
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| 12.07.2006, 14:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, ist richtig 
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| 12.07.2006, 14:39 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich bin mir jetzt nicht sicher ob ich die erste und die letzte zahl auch *3 machen muss oder ob ich da einfach nur 3a^3 schreiben muss! (3a+5b)^3 = 27a^3 + 135a^2 b + 225a b^2 + 125b^3 also muss ich es doch *3 nehmen? |
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| 12.07.2006, 14:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du nimmst das u^...v^... immer mal den Vorfaktor, den du aus dem Pascaldreieck bekommst. Der Teil (3a)^3 wird dabei mit der 1 aus dem Dreieck multipliziert. Darum ist (3a)^3=27a^3 richtig und es muss kein Faktor mehr dazu. |
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| 12.07.2006, 14:48 | ataa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ahhhh jetzt hab ich es wirklich verstanden! wenn ich noch ne frage haben sollte dann grag ich noch mal nach! danke das du es mir erklährt hast ! ich muss morgen meine gfs halten und du hast mir noch in letzter minute geholfen, danke! ataa 
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