Defintition GRAMmatrix

11.02.2005, 14:20	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
Defintition GRAMmatrix Hallo! Kann mir jemand erklären was genau eine GRAMmatrix eigetnlich ist? In meinem Skript steht es folgendermaßen: Sei V ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray} B \epsilon V^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi : V \times V -> \mathbb R \end{eqnarray}$ eine symmetrische Bilinearform. Dann heißt $\begin{eqnarray} _B \Phi^B : n \times n -> \mathbb R : (i,j) -> \Phi (B_i,B_j) \end{eqnarray}$ die GRAMmatrix von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ bez. B Es gilt $\begin{eqnarray} _B \Phi^B \epsilon \mathbb R_{sym} ^{n \times n} \end{eqnarray}$ Und für alle $\begin{eqnarray} V,W \epsilon V \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \Phi (V,W)=(^B V)^{tr} _B \Phi ^B * ^B W \end{eqnarray*}$ Irgendwie weiß ich jetzt nicht, was ich mir unter der GRAMmatrix vorstellen kann, denn eigentlich ist es doch eine Abb. von einem Tupel auf eine reelle Zahl, nicht nicht auf eine Matrix.
11.02.2005, 15:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} a_1 , a_2 , \ldots , a_n \end{eqnarray}$ hast, so bezeichnet man die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \left\langle a_1 , a_1 \right\rangle & \left\langle a_1 , a_2 \right\rangle & \left\langle a_1 , a_3 \right\rangle & \dots & \left\langle a_1 , a_n \right\rangle \\ \left\langle a_2 , a_1 \right\rangle & \left\langle a_2 , a_2 \right\rangle & \left\langle a_2 , a_3 \right\rangle & \dots & \left\langle a_2 , a_n \right\rangle \\ \left\langle a_3 , a_1 \right\rangle & \left\langle a_3 , a_2 \right\rangle & \left\langle a_3 , a_3 \right\rangle & \dots & \left\langle a_3 , a_n \right\rangle \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \left\langle a_n , a_1 \right\rangle & \left\langle a_n , a_2 \right\rangle & \left\langle a_n , a_3 \right\rangle & \dots & \left\langle a_n , a_n \right\rangle \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Gram-Matrix von $\begin{eqnarray} a_1 , a_2 , \ldots , a_n \end{eqnarray}$ . Die spitzen Klammern bezeichnen dabei ein vorgegebenes Skalarprodukt. Gram-Matrizen kommen bei der Volumenberechnung eines $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionalen Parallelepipeds vor. (Die von dir angegebene Definition scheint etwas allgemeiner zu sein, da dort nur von einer symmetrischen Bilinearform die Rede ist, während man bei einem Skalarprodukt zusätzlich noch die positive Definitheit fordert.)
11.02.2005, 15:37	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich habe es verstanden: Die Abbildung oben bildet also die Spaltenindizees auf einen bestimmten Eintrag ab, also wenn A eine GRAMmatrix ware wäre der Eintrag an der Stelle $\begin{eqnarray} a_{1,2}= \Phi (B_1,B_2) \end{eqnarray}$ . Richtig? Und da $\begin{eqnarray} \Phi (B_1,B_2) = \Phi (B_2,B_1) \end{eqnarray}$ ist A also symmetrisch. Stimmt das soweit?
11.02.2005, 15:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »

11.02.2005, 15:46	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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