Lineare Gleichungssysteme/Variable

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11.02.2005, 19:00	Diana	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme/Variable Hey Ihr! Quitsch! Kann nicht mehr! HILFE!!!! Aus diesem Gleichungssytem: $\begin{eqnarray} x_1-2x_2+3x_3+4=0\\ 2x_1+x_2+x_3-2=0\\x_1+ax_2+2x_3+b=0 \end{eqnarray}$ soll ich rausbekommen, für welche a,b € $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ dieses Gleichungssystem a) genau eine Lösung, b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen hat. Ich versteh nicht, was mein Prof damit meint. Und wie geht dieses?Außerdem soll ich den Fall von c)geometrisch interpretieren! Hilfe! Eindeutig zu hoch! Kann mir jemand helfen? Diana
11.02.2005, 19:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
sag doch bitte auch mal auf welchem wissensstand du so bist.... Lineare Algebra 1?! sagt dir gaussalgorithmus was? du hast ein LGS mit 3 gleichungen und 3 unbekannten..... wann ist das genau lösbar? was für eine zeile brauchst du, damit es nicht lösbar ist? wie muss eine zeile wegfallen, damit es unendlich viele lösungen hat? mfg jochen
11.02.2005, 19:12	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Gleichungssysteme/Variable Zunächst kannst du die Gleichungen so umstellen, dass alle konstanten Summanden auf der rechten Seite stehen. $\begin{eqnarray} x_1-2x_2+3x_3=-4\\ 2x_1+x_2+x_3=2\\x_1+ax_2+2x_3=-b \end{eqnarray}$ Und nun kannst du die Koeffizienten in eine Matrix schreiben. $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & a & 2 & -b \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Darauf kannst du jetzt das Gauß-Verfahren anwenden. Sagt dir das was? Einfach mal stur anwenden und dir dann nochmal überlegen, wann es (eindeutig) lösbar bzw. unlösbar ist.
11.02.2005, 19:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Gleichung stellt eine Ebene dar. Gehe so vor: 1. Begründe, warum keine zwei der drei Ebenen parallel sind, egal, wie man $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ wählt. 2. Angenommen, das Gleichungssystem ist unlösbar, d.h. die drei Ebenen besitzen keinen gemeinsamen Punkt. Wie kann man sich drei solche Ebenen vorstellen (von denen ja keine zwei parallel sind)? Tip - nur lesen, wenn du selbst nicht darauf kommst: ekramnedalokohcs reziewhcs etnnakeb 3. Angenommen, das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Wie kann man sich drei nicht parallele Ebenen vorstellen, die unendlich viele gemeinsame Punkte haben? Was stellen diese gemeinsamen Punkte folglich geometrisch dar? 4. Angenommen, das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Dann kann man sich die drei Ebenen wie die drei Koordinatenebenen vorstellen, die ja nur einen Punkt (den Ursprung) gemeinsam haben, nur eben schiefwinklig zueinander. Wenn du Einsicht in diese 4 Punkte hast, dann hast du mehr erkannt, als der Professor wissen will. Für die Lösung des Gleichungssystems empfehle ich dir den Gauß-Algorithmus. Suche nach 1-en, um mit solchen Zeilen die anderen Zeilen zu bearbeiten. Vermeide Divisionen durch Terme, die Variablen enthalten; denn sonst mußt du Fallunterscheidungen vornehmen. Bringe das Gleichungssystem auf Stufenform. Entscheide jetzt je nach Wahl der Parameter, wie viele Lösungen das Gleichungssystem besitzt.
12.02.2005, 13:55	Diana	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Nun hab' ich das lineare Gleichungssystem ausgerechnet und in meiner untersten Zeile steht: 0, a+1, 0, 2-b. Wie bekomme ich dann a) eine Lösung, b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen raus. Diana
12.02.2005, 14:00	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
mal ganz allgemein: a*x=b hat für a=0 und b=0 unendlich viele lösungen. für a=0 und b<>0 keine lösung. für a<>0 und genau eine lösung (x=b/a) hilft dir das weiter?
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12.02.2005, 15:12	Diana	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ax=b ? also bei mir ist das -a+1=b wie komm ich denn jetzt auf das ax=b ? Diana
12.02.2005, 15:15	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
mein beispiel ist für ganz allgemeine fälle von gleichungen! du kannst dir statt a und b auch c und d denken, denn das hat NICHTS mit deinem a und b zu tun...... jetzt klar?
12.02.2005, 15:18	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bei dir ist nicht -a+1=b. Um sich Schreibarbeit zu ersparen, werden in die Matrix nur die Koeffizienten eingetragen. Die Variablen werden weggelassen. In der letzten Zeile steht also eigentlich $\begin{eqnarray} 0x_1+(a+1)x_2+0x_3=2-b \end{eqnarray}$ . Und damit hast du eine Form, wie LOED sie angesprochen hat.

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