Winkelberechnung cos(alpha)= - 1/wurzel(2)

12.02.2005, 00:17	christopher_m	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelberechnung cos(alpha)= - 1/wurzel(2) Hi, kann mir jemand kurz erklären, wie ich den Winkel alpha (im Bogenmaß) ausrechnen kann: cos(alpha) = - 1/wurzel(2) In meiner Formelsammlung kann ich nur den Wert für den positiven Wert 1/wurzel(2) finden: (->alpha=pi/4) Als Ergebnis soll alpha= 5/4*pi sein. Hier ist die Angabe mit kurzer Lösung dieser Aufgabe: http://mitglied.lycos.de/christophermeissner/spotlight/reelle_amplitude.gif Christopher
12.02.2005, 00:59	Seimon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelberechnung cos(alpha)= - 1/wurzel(2) aus $\begin{eqnarray} cos(\alpha)=-\frac {1}{\sqrt 2} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \alpha=\pi(1\pm \frac {1}{4})+2k\pi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k=0,1,2,3... \end{eqnarray}$ das bekommst du am besten mit Taschenrechner (auf rad einstellen und arccos berechnen) und einer handskizze vom cos! aber warum ist die Lösung in dem Beispiel $\begin{eqnarray} \frac {5\pi}{4} \end{eqnarray}$ ? Du sollst hier Betrag und Phase von (-1-i) berechnen! Betrag ist klar! Phase: sei $\begin{eqnarray} z:=a+bi \in \mathbb C \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} Arg(z):= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arctan(b/a)\\ arctan(b/a)+\pi \\ \pi/2 \\ 3\pi/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fuer~ a > 0 \\ ~~~fuer~ a<0 \\ ~~~ fuer~ a=0 ~und~ b>0 \\~ ~~fuer ~a=0~ und ~b<0 \end{eqnarray}$ die Phase von z Am besten du Veranschaulichst dir das wieder mit einer Skizze (Guß'sche Zahlenebene!) hier: $\begin{eqnarray} \alpha=arctan(b/a)+\pi=arctan(-1/-1)+\pi=\pi/4+\pi=\frac {5\pi}{4} \end{eqnarray}$
12.02.2005, 11:17	christopher_m	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Seimon, danke für die schnelle und ausführliche Antwort! Ich denke, jetzt hab' ich es kapiert: Der Winkel ist pi/4, doch da sinus und cosinus (bzw. Imaginär- und Realteil) negativ sind, muss der Winkel im 3. Quadranten liegen -> deshalb pi/4+pi Christopher
12.02.2005, 12:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei der Argumentberechnung komplexer Zahlen ist eine Fallunterscheidung leider unumgänglich. Mit Seimons Formel erhältst du Winkel im Bereich $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2}<~\mathrm{arg}(z)\leq\frac{3}{2}\pi \end{eqnarray}$ , das ist Ok so. Für Winkel im Bereich $\begin{eqnarray} 0\leq~\mathrm{arg}(z)\leq 2\pi \end{eqnarray}$ kannst du auch hier http://www.matheboard.de/thread.php?postid=117979#post117979 vorbei schauen.
12.02.2005, 13:57	christopher_m	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Arthur, danke für den Link auf die ausführliche Beschreibung. Da in meiner Formelsammlung nur einige Werte für Winkel im ersten Quadranten tabelliert sind, muss ich mich wohl mit dem Einheitskreis und ein wenig Denken begnügen oder gibt es da einen anderen Trick (ohne Taschenrechner)? Christopher

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