Kurvendiskussion der e-funktion

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SaschAR Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion der e-funktion
hi,
also ich muss meine facharbeit zum thema eulersche zahl schreiben. Jedoch komme ich mit der kurvendiskussion der e-funktion f(x)=e^x nicht ganz klar, kann mir jemand eine komplette und genaue kurvendiskussion geben? das wäre echt nett. danke
gruß SaschAR Hilfe
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

nein.

mach sie doch einfach selber und frag halt nach, wenn du irgendwo probleme hast.

gruß,
aRo
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

aRo hat recht... Poste mal deine Probleme und übrigens: Bei Kurvendiskussionen ist es immer von Vorteil, wenn du genau sagst, was du damit meinst... Darunter fallen viele Punkte...
SaschAR Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok,
also ich habe genau 2 probleme:
1. wenn ich e^x gleich null setze, wie muss ich dann weiter machen um die nullstellen zu berechnen, ich weiß dass es keine gibt, aber wie kann ich das mathematisch belegen.

2.wie bilde ich die ableitungen von f(x)=e^x ?
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

1. kennst du den ln?

2. hmm...wenn man weiß, dass die Ableitung von = ist, ist man klar im Vorteil.

Mir ist aber grad entfallen, warum. Kann mir das nochmal jmd erläutern vielleicht? Augenzwinkern

gruß,
aRo
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

Also,
ich mache mal den anfang....aber wirklich nur den anfang!

-Die e-Funktion verhält sich in Bezug auf den Ordinatenabschnitt wie jede andere allg. Exponentialfunktion,also ist f(0)=.. für f(x)=e^x.

-stetig ist sie auch...daraus folgt....?

-mögliche nullstellen findet man, indem man die gleichung f(x)=0 nach x auflöst...ist dies möglich??wenn nein, warum nicht??

-die eulersche Zahl e definiert sich bekanntermaßen als Grenzwert



und damit die e-Funktion:



-versuch die e-funktion abzuleiten (zb mittels Kettenregel)! Was fällt dir bei den ersten Ableitungen auf???Gilt das für alle Ableitungen??Und was ergibt sich dann als logische Konsequenzen für lokale Extremas, Wendepunkte und für die Stammfunktion....ist wirklich nicht schwer zu ermitteln, wenn man den anfang erstamal hat!

gruß swerbe
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte jetzt mit vielem Gesalbe erklären, warum die Ableitung von ist. Aber bei ist zu berücksichtigen, dass der natürliche Logarithmus der eulerschen Zahl 1 ergibt. Deshalb ist wenn f(x)=e^x f'(x)=e^x...

Für genauere Erklärung bitte nachfragen
SaschAR Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir jemand das mit dem ln mal genauer erklären. was genau ist das? wie kommt man darauf?wie und wo wendet man das an?
wäre echt nett. danke
gruß saschAR
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

ln heißt Hochzahl(eigentlich heißt es natürlicher Logarithmus, aber ich erklär das immer so, dass es Hochzahl heißt) und das kommt immer dann zum Einsatz, sobald deine Hochzahl eine Unbekannte ist.
Bisher hast du immer gerechnet: x³ * x² usw...

Da war die Basis unbekannt, aber die Hochzahl nicht.

Wenn du nun stehen hast:

3^x = 9

Dann ist deine Hochzahl unbekannt und du brauchst ln, damit du die Hochzahl herunter holen kannst.

Hier in diesem Fall kann man erraten, was x ist, denn 3² = 9

aber was ist, wenn da steht: 3^x = 7
dann wirds schon komplizierter.

Dazu muss man die ln/log-Gesetze wissen.

Da es hier um die Hochzahlen geht, muss man sich überlegen, was mit denen geschieht, wenn z.b. die Basis addiert wird, subtrahiert wird, multipliziert wird oder dividiert wird.

x² + x³ = x² + x³ >> kann man nicht addieren

daher:

ln (a + b) = ln(a + b)

x² * x³ = x^(2 + 3)

daher:

ln(a * b) = lna + lnb
Das heißt übersetzt:
Was passiert mit den Hochzahlen, wenn die Basis multipliziert wird:
Hochzahl von a (= lna) plus Hochzahl von b (=lnb)

ln(a/b) = lna - lnb

denn: x³/x² = x^(3 - 2)

lna^r = r * lna

denn: (x²)³ = x^(2 * 3)

Und genau DAS ist das wichtigste LOG/LN-Gesetz, denn das heißt, sobald ein Ausdruck unter ln steht, darf man die Hochzahl des Ausdrucks nach vor multiplizieren:

lnx³ = 3 * lnx

ln(5^x) = x * ln5

Das heißt, sobald du eine Gleichung unter ln setzt ( aber du musst die komplette linke Seite unter ln setzen und die komplette rechte Seite unter ln und dann nach den ln Gesetzen auflösen), so bekommst du die unbekannte Hochzahl herunter:

z.b.

3^x = 7 | unter ln setzen

ln3^x = ln7

x * ln3 = ln7
x = ln7/ln3

das kannst nun in den TR eingeben und weißt nun, womit du 3 potenzieren musst, damit 7 rauskommt.

Der Unterschied zwischen lg und ln ist der, dass lg die Basis 10 hat und ln hat die Basis e:

³log5

Wenn das so da steht, kann man das umschreiben in:

3 ist die Basis, 5 ist das Endergebnis, und dazu denken musst dir, weils nicht da steht: = unbekannte Hochzahl

daher:

³log5 >>
3^x = 5

Wenn jetzt nur lg5 da steht, dann ist automatisch 10 die Basis:

10^x = 5

steht ln3 da, dann bedeutet das:
e = Basis, 3 ist Endergebnis, und wieder dazudenken: = unbekannte Hochzahl

ln3 >>

e^x = 3

e ist die euler'sche Zahl und hat so ca. den Wert: 2,718.......

ein paar wichtige lg's und ln's:

ln1
>> e^x = 1 >> x = 0...denn jede Zahl hoch 0 ist 1
daher:
ln1 = 0

lne
>> e^x = e >> e^1 = e >> x = 1

lne = 1

ln0

e^x = 0 >> du wirst für x keine Zahl finden, die du einsetzen kannst, sodass 0 heraus kommt. Setzt du für x 0 ein, dann ist e^0 = 1
Setzt du eine Minuszahl ein, so verschiebt sich das e mit der Hochzahl bloß in den Nenner: e^(-1) = 1/e

ln(-1)

e^x = -1 >> du wirst keine Zahl für x finden, sodass -1 raus kommt.

Daher darf unter dem ln (und auch unter dem lg) keine Minuszahl und keine 0 stehen.

lg10 >>
10^x = 10
lg10 = 1

lg100 >>
10^x = 100
10^x = 10^2
lg100 = 2

usw....

wenn du stehen hast:

e^(ln3) so hebt sich e und ln auf und es bleibt die Zahl 3 übrig

e^ln3 = 3

D.h. du kannst jede Zahl umschreiben in e^lnZahl.

Das ist wichtig bei den e-Funktionen und der Kurvendiskussion, denn oft steht da dann z.b.:

e^(-ln2)

dann lässt sich das folgendermaßen umformen:

e^(-1 * ln2) >> nach den ln-Gesetzen, die ich dir da oben aufgeschrieben hab, gilt, dass jede Zahl, die mit dem ln multipliziert war, ursprünglich die Hochzahl vom Ausdruck unterm ln war:

e^[ln(2)^-1]
und nun hebt sich e und ln wieder auf und es bleibt: 2^(-1) übrig

2^(-1) = 1/2


DAs mal so kurz zu e, ln und log und lg....

lg kiki
SaschAR Auf diesen Beitrag antworten »

hey kikira,
danke für deine Antwort, hast mir echt sehr gut geholfen!!!! Freude
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