DGL ohne x

23.07.2007, 15:35

lonesome-dreamer

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DGL ohne x

Hallo,
ich habe gerade Probleme, folgende DGL zu lösen:
$\begin{eqnarray*} (y'+1)y'''=(y'')^2 \end{eqnarray*}$ .
Ich habe mittels Substitution versucht, das ganze zu vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} y'=t \rightarrow (t+1)t''=(t')^2\\t'=z \rightarrow (t+1)z'=z^2 \end{eqnarray*}$
Nun habe ich versucht durch Trennung der Veränderlichen auf ein Ergebnis von z zu kommen:
$\begin{eqnarray*} z'=z^2*\frac{1}{t+1}\\\int{\frac{dz}{z^2}}=\int{\frac{1}{t+1}}dt \\\Rightarrow z=-\frac{1}{ln(t+1)} \end{eqnarray*}$

Laut Buch ist die Lösung aber $\begin{eqnarray*} z=c(t+1) \end{eqnarray*}$ .
Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler liegt?

Gruß
Natalie

23.07.2007, 19:22

Orakel

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RE: DGL ohne x
dein fehler liegt darin, dass du bei der zweiten substitution das argument der gesuchten funktion, mit der funktion selbst durcheinander gebracht hast! ich würde auch ehrlich gesagt nicht den buchstaben "t" als funktion verwenden. sowas irritiert nur smile

smile

23.07.2007, 19:25

Orakel

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RE: DGL ohne x
wie man anhand der gleichung leicht sieht, ist jede lineare funktion y(x)=ax+b eine lösung der dgl, denn y''(x)=y'''(x)=0.

23.07.2007, 20:25

lonesome-dreamer

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RE: DGL ohne x
Hi,
danke für die Antwort.

Zitat:

Original von Orakel
dein fehler liegt darin, dass du bei der zweiten substitution das argument der gesuchten funktion, mit der funktion selbst durcheinander gebracht hast!

Könntest du mir bitte zeigen, wie das richtig heißen muss? Ich seh den Fehler gerade echt nicht.

Gruß
Natalie

23.07.2007, 22:43

Orakel

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RE: DGL ohne x
du kannst zunächst eine substitution der form z(x(=y'(x) durchführen. das ergibt

$\begin{eqnarray*} (z+1)z''=z'^2 \end{eqnarray*}$

nun kannst du die ordnung der dgl nicht mehr verringern, da die fkt selber in der dgl auftritt!

23.07.2007, 23:13

lonesome-dreamer

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Hi,
das ist ja genau dasselbe, wie ich oben gemacht hab. Nur anstatt t halt z, oder nicht?
Mir ist noch unklar, warum man die Ordnung jetzt nicht mehr durch eine weitere Substitution verringern kann. In der Lösung wurde nämlich auch 2 mal substituiert. verwirrt

verwirrt

Wie würdest du denn jetzt weiter vorgehen, um das zu lösen?

Gruß
Natalie

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23.07.2007, 23:32

Orakel

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wenn du jetzt u(x)=z'(x) setzen würdest, wie willst du dann die funktion z(x) in der dgl ersetzen?

man kann aber noch die substitution u(x)=z(x)+1 machen.

hast du den lösungsweg aus deinem buch da? dann poste ihn mal bitte!

23.07.2007, 23:38

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Zitat:

Original von Orakel
wie man anhand der gleichung leicht sieht, ist jede lineare funktion y(x)=ax+b eine lösung der dgl, denn y''(x)=y'''(x)=0.

Das sind aber bei weitem nicht alle Lösungen...

$\begin{eqnarray*} (t+1)t'' = (t')^2 \end{eqnarray*}$ ergibt umgeformt $\begin{eqnarray*} \frac{t''}{t'} = \frac{t'}{t+1} \end{eqnarray*}$ . Das kann man integrieren:

$\begin{eqnarray*} \ln|t'| = \ln|t+1| + C_1 \end{eqnarray*}$

mit beliebiger Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt $\begin{eqnarray*} t' = C_2(t+1) \end{eqnarray*}$ , die leicht zu lösen ist.

24.07.2007, 11:12

lonesome-dreamer

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Hi,
@Orakel: Hier mal die Musterlösung:
$\begin{eqnarray*} y'=u \rightarrow (u+1)u''=(u')^2\\u'=p \rightarrow (u+1)p \frac{dp}{du}=p^2 \end{eqnarray*}$
Trennung der Veränderlichen ergibt: $\begin{eqnarray*} p=c(u+1) \end{eqnarray*}$

Was ich daran nicht verstehe, ist warum u'' durch $\begin{eqnarray*} p \frac{dp}{du} \end{eqnarray*}$ ersetzt wurde und wie die dann weiter umgeformt haben, dass sie schließlich aufs richtige Ergebnis gekommen sind verwirrt

verwirrt

@Arthur: Danke für deine Antwort. Leuchtet mir alles ein. Aber ich wär im Leben nie drauf gekommen, das so zu umformen und dann zu integrieren.
Deswegen würde ich auch gern den oben vorgeschlagenen Lösungsweg verstehen.

Gruß
Natalie

24.07.2007, 11:39

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} p\frac{dp}{du} = p\frac{dp}{dx}\frac{dx}{du} = p\frac{p'}{u'} = u'\frac{u''}{u'} = u'' \end{eqnarray*}$

24.07.2007, 11:52

lonesome-dreamer

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Ich glaube, ich habe gerade ein Problem mit den Differentialen.
Müsste es nicht heißen $\begin{eqnarray*} p'=\frac{dp}{du} \end{eqnarray*}$ ?

24.07.2007, 12:48

magneto42

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Nein.

Konvention für das $\begin{eqnarray*} ' \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \end{eqnarray*}$ (und Punkt wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} \end{eqnarray*}$ ).

Es ist also $\begin{eqnarray*} p' = \frac{\dd p}{\dd x} \end{eqnarray*}$

24.07.2007, 12:57

lonesome-dreamer

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Okay. Vielen Dank. Dann hab ich das wenigstens schon mal verstanden.

Aber mir ist immer noch unklar, wie man von

$\begin{eqnarray*} (u+1)p \frac{dp}{du}=p^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} p=c(u+1) \end{eqnarray*}$ kommt.

24.07.2007, 13:21

magneto42

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Durch einfaches Umstellen erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd p}{p} = \frac{\dd u}{u+1} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \ln \left|p\right| = \ln \left|u+1\right| + \ln c \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} p = c \cdot (u+1) \end{eqnarray*}$

Ok?

24.07.2007, 13:24

lonesome-dreamer

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Mir ist noch nicht klar, warum da ln c dazu addiert werden muss.

24.07.2007, 13:46

magneto42

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Zur Integration gehört eine beliebige Konstante. Also erst einmal allgemein

$\begin{eqnarray*} \ln \left|p\right| = \ln \left|u+1\right| + d \end{eqnarray*}$

Es spricht überhaupt nichts dagegen die Konstante zu ersetzten:

$\begin{eqnarray*} d = \ln c \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \ln \left|p\right| = \ln \left|u+1\right| + \ln c = \ln \left|c \cdot (u+1)\right| \end{eqnarray*}$

Das ist nur für die Ästhetik des Endergebnisses!!!

24.07.2007, 13:51

lonesome-dreamer

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Ok, danke für die ausführliche Erklärung.
Jetzt hab ichs gerafft Freude

Freude

24.07.2007, 15:17

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
@Arthur: Danke für deine Antwort. Leuchtet mir alles ein. Aber ich wär im Leben nie drauf gekommen, das so zu umformen und dann zu integrieren.
Deswegen würde ich auch gern den oben vorgeschlagenen Lösungsweg verstehen.

Wenn du genau hinschaust: Es ist derselbe Lösungsweg!!!

24.07.2007, 23:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von magneto42
Es spricht überhaupt nichts dagegen die Konstante zu ersetzten:

$\begin{eqnarray*} d = \ln c \end{eqnarray*}$

Aber auch nur, weil der nat. Logarithmus ganz IR durchläuft.

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