Beweise, dass f_n gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert

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Cloud7 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise, dass f_n gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert
Hallo Leute,
ich habe ein paar kleine Verständnisprobleme bei der folgenden Aufgabe. Hoffe, ihr könnt mir helfen smile :

Für n = 1,2,3, ... und reelles x setze man



Man zeige, dass gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert.


Lösung:
(i)

falls so folgt:



(ii)

falls so folgt:




Nun meine Fragen dazu:

I) Aus was für einem Grund fällt bei der (i) im Nenner weg? Und bei der (ii) im Nenner ? und nicht zb umgekehrt? Ich meine also, woher weiß man, welchen Teil des Nenners man verschwinden lässt?

II) Wieso heißt es am schluss der Gleichung von der i): ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

komische Lösung. Ich hatte damals gezeigt, dass ein globales Maximum für hat. Mit der Punktsymmetrie folgt daher die Abschätzung für alle . Der Rest ist nur noch Schreibarbeit.


Gruß, therisen
Cloud7 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm,

ok, das verstehe ich jetzt überhaupt nicht unglücklich

Aber der Lösungsvorschlag meiner Uni müsste eigentlich so richtig sein ....
Verstehe ihn halt nur noch nicht so ganz traurig
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Für a >= b > 0 gilt

therisen Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...php?topic=85369
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

für die kleine zwischenfrage möchte ich ungern einen neuen thread aufmachen:

die sache mit dem maximum suchen ist klar, denn die grenzfunktion ist die nullfunktion.
kann ich allgemein so argumentieren und daher das letzte untersuchen?

gleichmässige konvergenz heisst:



für eine funktion

(also insbesondere stimmen diese äquivalenzen?)
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Leider stimmt keine einzige. In der zweiten Zeile solltest du vielleicht noch schreiben, welche x du meinst. Dann wird die erste Äquivalenz vielleicht richtig. Wenn es sich desweiteren um eine reellwertige Funktion handelt, solltest du auch die Norm-Zeichen in Betragszeichen umwandeln.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

oh, na dann zum zweiten versuch:

gleichmässige konvergenz heisst für eine funktion
(das war die definition...)
für alle




naja, ob betrag oder norm sollte ja wurst sein...

wo sonst siehst du die unstimmigkeiten? verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Erste und letzte Zeile sind falsch.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

erste zeile? so hatten wir die gleichmässige konvergenz definiert...

edit:
ok, habs gesehen, es fehlt das ""
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Bei "f(x)" fehlte auch das "(x)". Jetzt hapert es nur noch an der letzten Zeile. Nach dieser konvergiert z.B. die konstante Folge -x^2 gleichmäßig gegen die Nullfunktion auf dem Intervall D = [-1,1].
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

wieso gegen die nullfunktion?
du hast doch die folge

da kein vorkommt ist doch die grenzfunktion
eine konstante folge ist doch auch gleichmässig konvergent, denn für alle kann ich ja das gleiche angeben
??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
wieso gegen die nullfunktion?
du hast doch die folge

da kein vorkommt ist doch die grenzfunktion


Ach ne... Aber nach deiner letzten Zeile konvergiert -x² eben auch gegen die Nullfunktion gleichmäßig. Lies doch mal genauer!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, jetzt hab ich das auch gesehen...wie könnte man das richtigerweise dann schreiben?
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
stimmt, jetzt hab ich das auch gesehen...wie könnte man das richtigerweise dann schreiben?


Einfach die Definition der Supremumsnorm richtig übertragen. Oder sich überlegen, werlche Eigenschaft eine Norm immer hat, die aber bei Deinem Supremumsausdruck nicht gewährleistet ist. Und wie gewährleistet man die?

Oder schließlich: Warum funktioniert WebFritzis Beispiel, wann würde es nicht mehr funktionieren?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

mit wikipedia denk ich jetzt, dass es am betrag gehapert hat bzw. dann eben der norm, also man muss das supremum der beträge dieser differenz bilden, denn ich habe lediglich das supremum der menge gebildet (für alle ), aber das supremum von ist ja gerade null und damit klappte webfritzis beispiel...

sofern das stimmt, muss ich dann schreiben, oder ginge auch ?
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Yippieh! Freude

Zitat:
Original von system-agent
sofern das stimmt, muss ich dann schreiben, oder ginge auch ?


Ersteres ist richtig. Letzteres ginge dann, wenn ||.|| irgendeine Norm auf R wäre. Das meinst Du aber nicht, deshalb laß es beim einfachen Betrag.
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