spezielle Grenzwertaufgaben

23.07.2007, 19:02

marcel!

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spezielle Grenzwertaufgaben

Hey!

Ich habe eine Frage zu Grenzwertaufgaben vom Typ

lim x -> -2 | (1/x) * (1-sqrt(1-x))

Ich kann bis jetzt nur die normalen, einfachen behandeln.

Kann mir jemand erklären, was hierbei zusätzlich zu beachten ist / anders zu machen?

Vielen Dank!

Grüße, Marcel

23.07.2007, 19:04

marcel!

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RE: spezielle Grenzwertaufgaben
Hier ist der Limes gegen -2 gemeint...Sorry, habe mich noch nicht soo gut mit dem Formeleditor vertraut gemacht...

23.07.2007, 19:08

pseudo-nym

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Meinst du
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} \frac{1-\sqrt{1-x}}{x} \end{eqnarray*}$

Hast du schon einsetzen versucht?

23.07.2007, 19:36

marcel!

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Die Funktion lautet:

(1/x) * (1 - wurzel(1-x))

mit Limes x gegen -2

Danke für die Hilfe!

23.07.2007, 19:38

Orakel

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ich würde mal sagen der grenzwert lautet

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}(1-\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

23.07.2007, 19:39

marcel!

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Oh je, ich Idiot...

Die Funktion soll auf LIMES X GG. 0 untersucht werden

;-)

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23.07.2007, 19:47

Orakel

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siehste, das macht schon mehr spaß. kennst du die regel von l'Hospital?

du kannst den bruch auch mit dem term

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

erweitern!

23.07.2007, 20:01

marcel!

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Ja, ich kenne l'Hospital...

Ok nach dem Erweitern komme ich auf:

Im Zähler -x bzw. im Nenner x + x*Wurzel(1-x)

Mist, jetzt weiß ich gar nicht, was ich beim Ableiten des Ausdrucks x*Wurzel(1-x) erhalte, wenn ich d.HP anwende...?

23.07.2007, 20:16

pseudo-nym

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Ne, l'Hospital musst du nur einmal anwenden.

Die Ableitungen sind falsch, zeig doch bitte mal deinen Rechenweg her

23.07.2007, 20:55

marcel!

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Bis zu der Stelle habe ich ja noch gar nicht abgeleitet, sondern nur erweitern & vereinfacht.

Was vielleicht für mich nützlicher wäre, sind ein paar Verständnishilfen zur Thematik. Ich habe gerade halt nur mehrere solcher Aufgaben vor mir liegen, die äußerlich so ausschauen wie einfache Grenzwertbestimmung von Folgen.

Die Aufgaben sind aber ein Unterkapitel "Grenzwerte" zum Thema "Stetige Funktionen".

Kann mir dazu vielleicht jemand eine Erklärung geben, weil ich da von selbst noch nicht ganz hinterkomme.

Stichwort rechts- u. linksseitiger Grenzwert, etc. , also im Prinzip alles, was mit Rechnen zur Stetigkeit zu tun hat. Worum geht es da?

Viele liebe Grüße,

Marcel

23.07.2007, 21:04

pseudo-nym

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Sry, nicht richtig gelesen.

Also nur der Übersicht wegen, entweder du wendest Orakels Erweiterung und benutzt die dritte binomische Formel, oder l'Hospital an.

Was du bei dieser Aufgabe versuchst, ist zu bestimmen ob die Definitionslücke der Funktion bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ hebbar ist. Also ob man einen Funktionswert ergänzen kann sodass die Funktion stetig wird.

23.07.2007, 21:23

WebFritzi

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@marcel: Bitte benutze den Formeleditor. Danke.

24.07.2007, 17:06

marcel!

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Okay ich steck mittlerweile tief in der Materie ;-)

Aber habe noch Schwierigkeiten beim Rechnen, d.h. wie rechnet man Aufgaben, bei denen der Limes nicht gegen 0 oder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ läuft, sondern gegen eine feste Zahl, z.B. 1 oder 2?

Habe eine Bsp.-Aufgabe gefunden, die mir bestimmt weiterhilft:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} (1 - x) / (1 - \sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Danke!!

24.07.2007, 17:12

Leopold

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Hier kommt man weiter, wenn man ein bestimmtes Muster erkennt: die dritte binomische Formel.

24.07.2007, 17:18

marcel!

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und wenn ich das im Zähler ausschreibe -wie rechne ich dann weiter?
Also ich weiß nicht wie man -wenn man dann so weit ist- das macht, wenn der Limes gegen 1 läuft... traurig

traurig

24.07.2007, 17:22

Leopold

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Weiter macht man, indem man im gekürzten Term stetig ergänzt. In der Praxis heißt das einfach: Einsetzen des Wertes, gegen den x strebt.

24.07.2007, 17:23

Frooke

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Wenn Du aufschreibst, was Leopold angibt, erhälst Du:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{(1 - \sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x})} \end{eqnarray*}$

Kannst Du da kürzen?

EDIT: Late

Verschoben nach Schulanalysis

24.07.2007, 17:28

marcel!

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Danke für die Hilfe,

also erhalte ich nach Kürzen und einsetzen 2, sowohl als links- und rechtsseitigen Grenzwert. (?)

Na dann probier ichs jetzt mal mit weiteren Aufgaben

24.07.2007, 18:04

marcel!

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Eine wichtige Verständnisfrage habe ich noch:

Ich erhalte zur Aufgabe den Grenzwert 2, aber der Funktionswert ist 0 für x = 1 ...

Heißt das jetzt, dass die Funktion in x = 1 unstetig ist??

24.07.2007, 18:07

Leopold

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Zitat:

Original von marcel!
aber der Funktionswert ist 0 für x = 1 ...

unglücklich

24.07.2007, 18:24

marcel!

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schlampig ausgedrückt....
Also die Funktion ist nicht definiert an x = 1.
Wie interpretiere ich das jetzt?

24.07.2007, 18:33

tmo

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das bedeutet, dass die funktion an der stelle 1 bzw. am punkt (1|2) eine hebbare lücke besitzt.

24.07.2007, 18:37

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}} \ \ \mbox{für} \ \ x \in D_f = [0,\infty) \setminus \{1\} \end{eqnarray*}$

Nach Umformen kann $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auch so geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 + \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ bleibt, denn der Definitionsbereich einer Funktion ist konstituierend für sie. Allerdings kann man jetzt eine unmittelbar verwandte Funktion $\begin{eqnarray*} f^{*} \end{eqnarray*}$ betrachten:

$\begin{eqnarray*} f^{*}(x) = 1 + \sqrt{x} \ \ \mbox{für} \ \ x \in D_{f^{*}} = [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{*} \end{eqnarray*}$ stimmen für alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ überein. $\begin{eqnarray*} f^{*} \end{eqnarray*}$ ist aber zusätzlich an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ definiert und stellt eine stetige Funktion dar. Ihr Graph ist der um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nach oben verschobene Wurzelgraph. Daher sieht der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ebenso aus mit einer markanten Ausnahme: Bei $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ hat der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Loch; denn die Funktion ist dort ja nicht definiert. Man sagt: $\begin{eqnarray*} f^{*} \end{eqnarray*}$ ist die stetige Ergänzung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für die Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ mit Wert $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Anschaulich ist also der Grenzwert derjenige $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert, mit dem das Loch gestopft wird. "Grenzwerte berechnen" heißt also "Löcher stopfen".

24.07.2007, 20:20

Frooke

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Zitat:

Original von marcel!

Heißt das jetzt, dass die Funktion in x = 1 unstetig ist??

Dazu will ich auch noch etwas sagen: f ist überall auf dem gesamten Definitionsbereich stetig! Unstetig kann eine Funktion an einer Stelle überhaupt nur dann sein, wenn die dort definiert ist.

Beispielsweise ist die Signumfunktion unstetig in Null

$\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} \;\;\,1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

Begründen könntest Du das damit, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\operatorname{sgn}(x)\ne\operatorname{sgn}(0) \end{eqnarray*}$

Bildchen:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/d/d5/Vorzeichenfunktion.png

25.07.2007, 12:59

marcel!

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Danke Leo & Frooke!

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