Extremwerte dieser Funktion

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12.02.2005, 14:31	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte dieser Funktion Hallo zusammen, ich habe ein dickes Problem bei der Bestimmung der Extremwerte dieser Funktion: f(x)=e^(-2x)sin(x) Habe die Funktion schon mit Hilfe der Poduktregel abgeleitet und dann gleich null gesetzt. Komme da auf den Ausdruck f'(x)=-2e^(-2x)sin(x)+e^(-2x)*cos(x) Das setze ich dann gleich null und komme nach ein paar Umformungen auf den Ausdruck: 0,5x=tan(x) Wie soll ich das nach x auflösen, oder habe ich schon vorher ein Fehler gemacht ? Suche Minimum, MAximum und die Wendepunkte. Da es eine periodische Funktion ist, gibt es ja theoretisch unendlich viele........ Aber wie ???? Und wo ??? Vielen vielen Dank schonmal für Eure Mithilfe und Unterstützung !!!
12.02.2005, 14:35	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte dieser Funktion Ja...denn wenn du deine Ableitung weiter umformst und e^(-2x) heraushebst, dann steht da: e^(-2x) * [- 2sinx + cosx] = 0 e^(-2x) = 0 >> keine Lösung oder: -2sinx + cosx = 0 \| : (cosx) -2tanx + 1 = 0 2tanx = 1 tanx = +1/2 lg kiki Edit: in : ( umgewandelt. grybl edit: meine Editierungen waren plötzlich nach grybls editierungen weg....
12.02.2005, 14:40	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte dieser Funktion Versteh ich nicht so recht (wie kommst du auf den Ausdruck e^(-2x) * [ 2sinx + cosx] = 0), aber trotzdem Danke für die schnelle Antowort. Komme ich darüber dann auch zu den Min/Max und Wendepunkte ?
12.02.2005, 14:47	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte dieser Funktion Was genau verstehst du daran nicht? Meine Umformungen? tanx = 1/2 ist noch nicht die Lösung da geht es noch weiter, denn nun muss man herausfinden, bei wieviel Grad ( das ist das x) der Tangens 1/2 Längeneinheit ist und in welchem Quadranten der Tangens positiv ist, weil da ja +1/2 steht. Tangens ist positiv im 1. Quadranten und im 3. Quadranten. Der Tangens ist 1/2 bei 26,56°. Ins Bogenmaß umrechnen und dann alle Winkel dazu bekannt geben. lg kiki edit: f'(x)=-2e^(-2x)sin(x)+e^(-2x)cos(x) << das ist deine Zeile hier hat man 2 Ausdrücke und in jedem ist e^(-2x) enthalten, also kann man das herausheben und das muss man immer bei e-Kurvendiskussionen, wenn man 0 setzt. 1. Ausdruck: -2e^(-2x) * sinx 2. Ausdruck: +e^(-2x) * cosx lg kiki
12.02.2005, 14:48	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte dieser Funktion f'(x)=-2e^(-2x)sin(x)+e^(-2x)cos(x) kannst du ausklammern => $\begin{eqnarray} f'(x)=e^{-2x} \cdot [- 2\sin x + \cos x] \end{eqnarray}$
12.02.2005, 14:52	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte dieser Funktion Zusatz : Sinn und Zweck des Heraushebens ist es, dass du dann eine Multiplikation hast, die 0 ergibt und daher Produkt-Null-Satz anwenden kannst. Entweder ist das, was links vom Malzeichen steht 0, oder das, was rechts vom Malzeichen steht. So lässt sich das dann schneller und leichter auflösen. lg kiki
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12.02.2005, 14:52	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstanden habe, verstehst du Kiki's ausgeklammerten Ausdruck nicht... Aber das entspricht genau deiner Ableitung. Ich glaube, du hast dich beim Umformen geirrt. Ausserdem: Für die Wendepunkte musst Du deine Ableitung erneut ableiten und das Ergebnis nullsetzen... Wenn du dir das rechnen der 3. Ableitung ersparen willst, um die WP's zu prüfen, kannst Du dir doch eine zeichnung machen lassen...
12.02.2005, 14:54	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
hab den thread nicht verfolgt aber anknüpfend zu frooke möchte ich sagen: willst du dir die 3.Ableitung sparen, nutze das Vorzeichen-Wechsel-Kriterium. Wenn das nen dummer Beitrag war, ignorieren gruß, aRo
12.02.2005, 14:54	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs verstanden, vielen Dank ! War da irgendwie auf dem Holzweg ! Hab einfach falsch Umgeformt. aus dem Ausdruck 0,5x=tan(x) kann man nicht so ohne weiteres das x bestimmen, oder ? Da kann man doch nur mit Näherungsverfahren drankommen. Aber eure Lösung oben ist einleuchtend...
12.02.2005, 14:54	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist aber eigentlich nicht nötig, die Wendepunkte zu berechnen, wenn es dein Lehrer nicht explizit verlangt. Denn bei Winkelfunktionen sind die Wendepunkte IMMER zugleich die Nullstellen. Daher erspart man sich dann, dass man die 2. Ableitung 0 setzen muss. lg kiki edit: muss schon so lachen...wir quatschen da alle durcheinander auf den Armen da ein....hihi edit10000: Richtig..wenn da x außerhalb der Winkelfunktionen steht, dann kannst das nicht so einfach auflösen....
12.02.2005, 14:59	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kiki: Das mit den Nullstellen als WP's ist genial: Habe ich nie zuvor bemerkt! ...!
12.02.2005, 14:59	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
also.... die Lösungen: Nullstellen: pik Minima bei: arctan(0,5)+pi(2k+1) Maxima bei: arctan(0,5)+pi*2k Kommt ihr auf die Lösungen ? Dass die Nullstellen gleich den Wendepunkte ist, stimmt nicht so ganz, hier handelt es sich ja schließlich nicht um eine reine trig. Fkt. !!!
12.02.2005, 15:01	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
doch, Daniel...die Nullstellen sind zugleich die Wendepunkte. Wenn das bei dir nicht der Fall ist, so hast du dich bei den Nullstellen vertan. lg kiki
12.02.2005, 15:03	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, das sind die Lösungen die mein Matheprof. veröffentlicht hat ! Wendepunkte sind bei : arctan(4/3)+pik Nullstellen: pik
12.02.2005, 15:06	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
oh gott...genau...sorry für die Verwirrung.... lg kiki
12.02.2005, 15:13	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss also doch nochmal ableiten oder ? Hab eine letzte Frage: Also das die Extremwerte bei arctan(0,5) liegen ist mir jetzt einleuchtend, weil die Ableitung an der Stelle null wird. Jetzt muss ich ja nur noch die periodizität addieren um auch alle anderen zu berücksichtigen. Wie komme ich auf die Maxima arctan(0,5)+pi+2k und auf die Minima arctan(0,5)+pi2k Addiere also einmal pi(2k+1) -->Min und einmal pi*2k --> Max Sorry für die blöden Fragen, aber bei Trig. Funktionen bin ich noch sehr schwach !!! Hat da keiner ein gutes Script in PDF-Form ? Muss da mal ein paar Aufgaben von durchrechnen ...
12.02.2005, 15:30	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
also..wie schon erwähnt, ist der Tangens im 1. Quadranten und im 3 Quadranten positiv. da der "reduzierte" Winkel arctan0,5 ist und das ein Winkel im 1. Quadranten ist. ist das schon eine Lösung. Und du musst immer 360°(= 2pi + 4pi + 6pi....) dazuzählen, damit du alle weiteren Kreisumdrehungen hast. Im 3. Quadranten gilt: 180° + reduzierter Winkel 180° = pi daher: arctan0,5 + pi ( dann + 3pi + 5pi + 7pi....) und das ergibt dann die Lösungen deines Lehrers... lg kiki
12.02.2005, 15:34	DanielE	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon einleuchtend, aber woher, bzw. mit welcher Überlegung bist du darauf gekommen, dass es sich jeweils um Min. und Max. handelt ? So, das ist auch meine letzte Frage ! //Die Aufgabe ist doof// ;-)
12.02.2005, 15:41	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
nö........alle Lösungen mit x1 im 1. Quadranten sind deine Maxima. Und alle Lösungen mit 180° + reduzierter Winkel sind deine Minima. Weil ja der Sinus im 1. Quadranten positiv ist und somit sind die y-Werte bei 26,56° positiv. Wei der Sinus im 3. Quadranten negativ ist, werden alle deine y-Werte bei 180° + reduzierter Winkel negativ und sind daher deine Minima. lg kiki edit: Brauchst ja nur die x-Werte in die 2. Ableitung einsetzen und schauen, wie dort die Krümmung ist. Linksgekrümmt bedeutet Tiefpunkt. Rechtsgekrümmt bedeutet Hochpunkt. Da ja der Hochpunkt sich immer in einer "Rechtskurve" befindet und der Tiefpunkt in einer "Linkskurve". lg kiki
12.02.2005, 15:48	verzweifelterstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
so stimmt's ! Musste mich auch erstmal reindenken. Die Aufagbe ist bestimmt nicht aus der Schule, oder ? Hab da auch schonmal Schnitzer, bei solchen Aufgaben .... Danke Und Daniel: Rechne einfach mal viele Aufgaben, dann kommst du da schon rein !
12.02.2005, 17:17	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab schon öfters solche Aufgaben gesehen inklusive Integral, aber als Abivorbereitung und auch nur an gewissen Gymnasien. lg kiki

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